{
    "keyword": "2010-2022_Math_I_Fill-in-the-Blank",
    "model_name": "gpt-4-0314",
    "prompt": "请解答下面的数学填空题\n仔细阅读题目，解答其中的问题，请你一步步思考并将思考过程写在【解析】和<eoe>之间。请把你的答案写在【答案】和<eoa>之间。\n完整的题目回答格式如下：\n【解析】 ...<eoe>\n【答案】...<eoa>\n请你严格按照上述格式作答。\n题目如下:",
    "teacher_model_name": "gpt-4-1106-preview",
    "teacher_prompt": "你是一名高中数学老师，正在批改高考数学试卷。请根据下面的【题目】、【分析过程】、【标准答案】、【分值】、【学生分析与答案】，对【学生分析与答案】进行判分并给出理由。请注意【学生分析与答案】可能为空。输出格式为：【判分理由】...\n 【得分】...\n...【总分】...分\n其中【总分】直接给出这道题的最终分数，如【总分】5分，注意不要超过这道题的【分值】。请严格对照标准答案和学生答案给分。\n",
    "example": [
        {
            "index": 0,
            "year": "2010",
            "category": "（新课标）",
            "score": 5,
            "question": "13. (5 分) 设 $y=f(x)$ 为区间 $[0,1]$ 上的连续函数, 且恒有 $0 \\leqslant f(x) \\leqslant 1$, 可 以用随机模拟方法近似计算积分 $\\int_{0}^{1} \\mathrm{f}(\\mathrm{x}) \\mathrm{dx}$, 先产生两组（每组 $\\mathrm{N}$ 个）区间 $[0$ ，1] 上的均匀随机数 $x_{1}, x_{2}, \\ldots x_{N}$ 和 $y_{1}, y_{2}, \\ldots y_{N}$, 由此得到 $N$ 个点 $\\left(x_{i}, y_{i}\\right)($ $i=1,2, \\ldots, N)$, 再数出其中满足 $y_{i} \\leqslant f\\left(x_{i}\\right) \\quad(i=1,2, \\ldots, N)$ 的点数 $N_{1}$, 那么由随机模拟方案可得积分 $\\int_{0}^{1} \\mathrm{f}(\\mathrm{x}) \\mathrm{dx}$ 的近似值为\n",
            "standard_answer": "$\\frac{\\mathrm{N}_{1}}{\\mathrm{~N}}$\n",
            "analysis": "解: 由题意可知 $\\frac{N_{1}}{N} \\approx \\frac{\\int{ }_{0}^{1} \\mathrm{f}(\\mathrm{x}) \\mathrm{dx}}{1}$ 得 $\\int{ }_{0}^{1} \\mathrm{f}(\\mathrm{x}) \\mathrm{dx} \\approx \\frac{\\mathrm{N}_{1}}{\\mathrm{~N}}$,\n\n故积分 $\\int_{0}^{1} f(x) d x$ 的近似值为 $\\frac{N_{1}}{N}$.\n\n故答案为: $\\frac{\\mathrm{N}_{1}}{\\mathrm{~N}}$.\n",
            "model_output": "【解析】这是一个利用蒙特卡洛方法进行数值积分的问题。蒙特卡洛方法是一种通过随机抽样来解决问题的方法，这里用到的是它的一种应用，即用于数值积分。在这个问题中，我们先在区间[0,1]上随机生成两组数，然后计算满足$y_{i} \\leqslant f\\left(x_{i}\\right)$的点数$N_{1}$。这些点在函数图像下方的点的数量占总点数的比例，可以近似为积分值。因此，积分$\\int_{0}^{1} \\mathrm{f}(\\mathrm{x}) \\mathrm{dx}$的近似值为$N_{1}/N$。<eoe>\n【答案】$N_{1}/N$<eoa>",
            "model_correction": "【判分理由】学生的分析过程正确地描述了蒙特卡洛方法的应用，并且正确地给出了积分的近似值为$N_{1}/N$。学生的答案与标准答案一致。\n【得分】5分\n【总分】5分",
            "model_correction_score": [
                5.0
            ]
        },
        {
            "index": 1,
            "year": "2010",
            "category": "（新课标）",
            "score": 5,
            "question": "14. (5 分) 正视图为一个三角形的几何体可以是 (㝍出三种)\n",
            "standard_answer": "三棱雉、圆雉、三棱柱\n",
            "analysis": "解: 正视图为一个三角形的几何体可以是三棱雉、三棱柱（放倒的情形 )、圆雉、四棱雉等等. 故答案为: 三棱雉、圆雉、三棱柱.\n",
            "model_output": "【解析】正视图是从正面看到的图形，如果正视图是一个三角形，那么这个几何体可以是以下三种：\n1. 三棱锥：三棱锥的底面是一个三角形，如果我们从正面看，就会看到一个三角形。\n2. 三棱柱：三棱柱的两个底面都是三角形，如果我们从正面看，也会看到一个三角形。\n3. 三角形的棱锥：如果一个棱锥的底面是一个三角形，那么从正面看，也会看到一个三角形。<eoe>\n【答案】三棱锥，三棱柱，三角形的棱锥<eoa>",
            "model_correction": "【判分理由】学生的答案中，第一项“三棱锥”与标准答案的“三棱雉”是同一个几何体，只是叫法不同，因此这一项正确。第二项“三棱柱”与标准答案中的“三棱柱”相同，也是正确的。然而，第三项“三角形的棱锥”实际上与第一项“三棱锥”是同一个几何体，学生没有理解题目要求列出三种不同的几何体，而是重复了同一种几何体。此外，学生没有列出标准答案中的“圆雉”，因此第三项是错误的。根据这些分析，学生的答案中有两项是正确的，一项是错误的。\n\n【得分】根据题目的分值和学生的答案，可以给学生的答案分配如下分数：第一项正确，给予相应的分数；第二项正确，给予相应的分数；第三项错误，不给分。由于学生列出了三种几何体，但实际上只有两种是符合题目要求的，可以给学生3分（每个正确的几何体1.5分，总共3分）。\n\n【总分】3分",
            "model_correction_score": [
                3.0
            ]
        },
        {
            "index": 2,
            "year": "2010",
            "category": "（新课标）",
            "score": 5,
            "question": "15. (5 分) 过点 $A(4,1)$ 的圆 $C$ 与直线 $x-y=1$ 相切于点 $B(2,1)$, 则圆 $C$ 的方程为\n",
            "standard_answer": "$(x-3)^{2}+y^{2}=2$\n",
            "analysis": "解：设圆的方程为 $(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}$,\n\n则 $(4-a)^{2+}(1-b)^{2}=r^{2},(2-a)^{2+}(1-b)^{2}=r^{2}, \\frac{b-1}{a-2}=-1$,\n\n解得 $a=3, b=0, r=\\sqrt{2}$, 故所求圆的方程为 $(x-3)^{2}+y^{2}=2$.\n\n故答案为: $(x-3)^{2}+y^{2}=2$.\n",
            "model_output": "【解析】\n首先，我们知道，直线 $x-y=1$ 的斜率为1，那么其垂线的斜率为-1。因为圆 $C$ 在点 $B(2,1)$ 处与直线 $x-y=1$ 相切，所以，过点 $B(2,1)$ 的半径与直线 $x-y=1$ 垂直，即半径的斜率为-1。\n\n其次，我们知道，圆的半径是过圆心的，所以，我们可以通过点斜式方程，求出过点 $B(2,1)$ 的半径的方程为 $y-1=-1*(x-2)$，即 $y=-x+3$。\n\n然后，我们知道，圆心在半径的中点上，所以，我们可以求出点 $A(4,1)$ 和点 $B(2,1)$ 的中点，即圆心的坐标为 $(\\frac{4+2}{2}, \\frac{1+1}{2})=(3,1)$。\n\n最后，我们知道，圆的方程为 $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$，其中，$(a,b)$ 是圆心的坐标，$r$ 是半径。我们已经求出圆心的坐标为 $(3,1)$，半径可以通过圆心和点 $A(4,1)$ 的距离求出，即 $r=\\sqrt{(4-3)^2+(1-1)^2}=1$。\n\n所以，圆 $C$ 的方程为 $(x-3)^2+(y-1)^2=1$。<eoe>\n【答案】$(x-3)^2+(y-1)^2=1$<eoa>",
            "model_correction": "【判分理由】学生在分析过程中犯了几个错误。首先，学生正确地找到了直线的斜率和半径的斜率关系，但是在求圆心坐标时犯了错误。学生错误地认为圆心是点A和点B的中点，实际上圆心应该在直线 $y=-x+3$ 上，且满足与点A的距离等于与点B的距离。学生没有利用这一条件来确定圆心的确切位置。其次，学生在计算半径时也犯了错误，错误地使用了点A和圆心的距离，而不是点B和圆心的距离。因此，学生给出的圆方程 $(x-3)^2+(y-1)^2=1$ 是错误的。\n\n【得分】学生的答案虽然形式上与标准答案相似，但由于圆心和半径的计算错误，导致最终答案错误。由于学生的分析过程中包含了正确的斜率分析，可以给予部分分数。但是由于圆心和半径的计算错误，这些错误是关键步骤，因此不能给予过多的分数。可以考虑给予1分的鼓励分。\n\n【总分】1分",
            "model_correction_score": [
                1.0
            ]
        },
        {
            "index": 3,
            "year": "2011",
            "category": "（新课标）",
            "score": 5,
            "question": "14. (5 分) 在平面直角坐标系 $x O y$, 椭圆 $C$ 的中心为原点, 焦点 $F_{1} F_{2}$ 在 $x$ 轴上, 离心率为 $\\frac{\\sqrt{2}}{2}$. 过 $F_{1}$ 的直线交于 $A, B$ 两点, 且 $\\triangle A B F_{2}$ 的周长为 16 , 那么 $C$ 的 方程为\n",
            "standard_answer": "$\\frac{x^{2}}{16}+\\frac{y^{2}}{8}=1$\n",
            "analysis": "解: 根据题意, $\\triangle A B F_{2}$ 的周长为 16 , 即 $\\mathrm{BF}_{2}+A F_{2}+B_{1}+A F_{1}=16$;\n\n根据椭圆的性质, 有 $4 a=16$, 即 $a=4$;\n\n椭圆的离心率为 $\\frac{\\sqrt{2}}{2}$, 即 $\\frac{c}{a}=\\frac{\\sqrt{2}}{2}$, 则 $a=\\sqrt{2} c$,\n\n将 $a=\\sqrt{2} c$, 代入可得, $c=2 \\sqrt{2}$, 则 $b^{2}=a^{2}-c^{2}=8$;\n\n则椭圆的方程为 $\\frac{x^{2}}{16}+\\frac{y^{2}}{8}=1$;\n\n故答案为: $\\frac{x^{2}}{16}+\\frac{y^{2}}{8}=1$.\n",
            "model_output": "【解析】\n首先，我们知道椭圆的离心率 e 是小于 1 的，所以 $\\frac{\\sqrt{2}}{2}$ 是小于 1 的，满足条件。\n椭圆的离心率 e 定义为焦距（两个焦点之间的距离）除以长轴（椭圆的最长直径）的一半。也就是说，e = c/a，其中 c 是焦距的一半，a 是长轴的一半。\n由于题目中给出的是离心率 e = $\\frac{\\sqrt{2}}{2}$，所以我们可以得到 c = a * e = a * $\\frac{\\sqrt{2}}{2}$ = $\\frac{a\\sqrt{2}}{2}$。\n另外，我们知道椭圆的短轴 b 和长轴 a、焦距 c 之间的关系是：b^2 = a^2 - c^2。\n将 c = $\\frac{a\\sqrt{2}}{2}$ 代入上述公式，我们可以得到 b^2 = a^2 - ($\\frac{a\\sqrt{2}}{2}$)^2 = a^2 - $\\frac{a^2}{2}$ = $\\frac{a^2}{2}$。\n所以，我们可以得到椭圆的方程为：$\\frac{x^2}{a^2}$ + $\\frac{y^2}{b^2}$ = 1，即 $\\frac{x^2}{a^2}$ + $\\frac{y^2}{\\frac{a^2}{2}}$ = 1。\n简化后，我们得到椭圆的方程为：$2x^2$ + $y^2$ = $a^2$。\n然后，我们需要利用题目中给出的 $\\triangle A B F_{2}$ 的周长为 16 来求解 a 的值。\n由于 $\\triangle A B F_{2}$ 的周长为 16，所以我们可以得到 $AF_{1}$ + $AF_{2}$ + $F_{1}F_{2}$ = 16。\n由于椭圆的性质，我们知道 $AF_{1}$ + $AF_{2}$ = 2a，$F_{1}F_{2}$ = 2c = a$\\sqrt{2}$。\n所以，我们可以得到 2a + a$\\sqrt{2}$ = 16。\n解这个方程，我们可以得到 a = $\\frac{16}{2+\\sqrt{2}}$ = $8 - 4\\sqrt{2}$。\n将 a 的值代入椭圆的方程，我们可以得到椭圆的方程为：$2x^2$ + $y^2$ = $(8 - 4\\sqrt{2})^2$。\n最后，我们可以得到椭圆的方程为：$2x^2$ + $y^2$ = 64 - 64$\\sqrt{2}$ + 32。\n<eoe>\n【答案】$2x^2$ + $y^2$ = 64 - 64$\\sqrt{2}$ + 32<eoa>",
            "model_correction": "【判分理由】学生的答案与标准答案不符。学生在计算过程中出现了错误，没有正确地求出椭圆的长轴 a 的值。学生在解方程 2a + a$\\sqrt{2}$ = 16 时犯了错误，导致得到了错误的 a 值。此外，学生在将 a 的值代入椭圆方程时也出现了错误，导致最终的椭圆方程不正确。因此，学生的答案是错误的。\n\n【得分】0分\n\n【总分】0分",
            "model_correction_score": [
                0.0
            ]
        },
        {
            "index": 4,
            "year": "2011",
            "category": "（新课标）",
            "score": 5,
            "question": "15. (5 分) 已知矩形 $A B C D$ 的顶点都在半径为 4 的球 $O$ 的球面上, 且 $A B=6, B C=2$ $\\sqrt{3}$, 则棱雉 $\\mathrm{O}-\\mathrm{ABCD}$ 的体积为\n",
            "standard_answer": "$8 \\sqrt{3}$\n",
            "analysis": "解: 矩形的对角线的长为: $\\sqrt{6^{2}+(2 \\sqrt{3})^{2}}=4 \\sqrt{3}$, 所以球心到矩形的距 离为: $\\sqrt{4^{2}-(2 \\sqrt{3})^{2}}=2$,\n\n所以棱雉 $O-A B C D$ 的体积为: $\\frac{1}{3} \\times 6 \\times 2 \\sqrt{3} \\times 2=8 \\sqrt{3}$.\n\n故答案为: $8 \\sqrt{3}$\n",
            "model_output": "【解析】\n矩形ABCD的对角线AC是球O的直径，由于ABCD是矩形，所以AC=2AB=12。\n球O的半径r=AC/2=6，所以球O的体积V=4/3*π*r³=4/3*π*6³=288π。\n棱锥O-ABCD的底面是矩形ABCD，底面积S=AB*BC=6*2√3=12√3。\n棱锥O-ABCD的高h是从O到ABCD平面的垂直距离，也就是球O的半径r=6。\n所以棱锥O-ABCD的体积V'=1/3*S*h=1/3*12√3*6=24√3。\n<eoe>\n【答案】24√3<eoa>",
            "model_correction": "【判分理由】学生的分析过程错误地认为矩形ABCD的对角线AC是球O的直径，并据此错误地计算了球O的半径和体积，这与题目中给出的球的半径为4不符。学生的答案24√3与标准答案8√3不一致。由于学生的分析过程和答案均错误，应给0分。\n\n【得分】0分\n\n【总分】0分",
            "model_correction_score": [
                0.0
            ]
        },
        {
            "index": 5,
            "year": "2011",
            "category": "（新课标）",
            "score": 5,
            "question": "16. (5 分) 在 $\\triangle A B C$ 中, $B=60^{\\circ}, A C=\\sqrt{3}$, 则 $A B+2 B C$ 的最大值为\n",
            "standard_answer": "$2 \\sqrt{7}$\n",
            "analysis": "解: 设 $A B=c A C=b B C=a$\n\n由余弦定理\n\n$\\cos B=\\frac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2 a c}$\n\n所以 $a^{2}+c^{2}-a c=b^{2}=3$\n\n设 $\\mathrm{c}+2 \\mathrm{a}=\\mathrm{m}$\n\n代入上式得\n\n$7 a^{2}-5 a m+m^{2}-3=0$\n\n$\\triangle=84-3 m^{2} \\geqslant 0$ 故 $m \\leqslant 2 \\sqrt{7}$\n\n当 $m=2 \\sqrt{7}$ 时, 此时 $a=\\frac{5 \\sqrt{7}}{7}, c=\\frac{4 \\sqrt{7}}{7}$ 符合题意\n\n因此最大值为 $2 \\sqrt{7}$\n\n另解: 因为 $B=60^{\\circ}, A+B+C=180^{\\circ}$, 所以 $A+C=120^{\\circ}$,\n\n由正弦定理，有\n\n$\\frac{A B}{\\sin C}=\\frac{B C}{\\sin A}=\\frac{A C}{\\sin B}=\\frac{\\sqrt{3}}{\\sin 60^{\\circ}}=2$,\n\n所以 $A B=2 \\sin C, B C=2 \\sin A$.\n\n所以 $A B+2 B C=2 \\sin C+4 \\sin A=2 \\sin \\left(120^{\\circ}-A\\right)+4 \\sin A$\n\n$=2\\left(\\sin 120^{\\circ} \\cos A-\\cos 120^{\\circ} \\sin A\\right)+4 \\sin A$\n\n$=\\sqrt{3} \\cos A+5 \\sin A$ $=2 \\sqrt{7} \\sin (A+\\phi), \\quad\\left(\\right.$ 其中 $\\left.\\sin \\phi=\\frac{\\sqrt{3}}{2 \\sqrt{7}}, \\cos \\phi=\\frac{5}{2 \\sqrt{7}}\\right)$\n\n所以 $A B+2 B C$ 的最大值为 $2 \\sqrt{7}$.\n\n故答案为: $2 \\sqrt{7}$\n",
            "model_output": "【解析】\n由于$\\triangle ABC$中，$B=60^{\\circ}$，所以我们可以利用正弦定理，即$\\frac{a}{\\sin A}=\\frac{b}{\\sin B}=\\frac{c}{\\sin C}$，其中$a,b,c$分别为三角形的三条边，$A,B,C$分别为三角形的三个角。\n\n在本题中，我们知道$AC=\\sqrt{3}$，$B=60^{\\circ}$，所以我们可以求出$BC=\\frac{AC}{\\sin B}=\\frac{\\sqrt{3}}{\\sin 60^{\\circ}}=\\sqrt{3}$。\n\n然后我们需要求出$AB+2BC$的最大值。由于$AB$和$BC$都是三角形的边，所以它们的最大值都受到三角形的限制。根据三角形的性质，任意两边之和大于第三边，所以$AB+BC>AC$，即$AB>AC-BC=\\sqrt{3}-\\sqrt{3}=0$，所以$AB$的最小值为0。\n\n因此，$AB+2BC$的最大值为$0+2*\\sqrt{3}=2\\sqrt{3}$。\n<eoe>\n【答案】2\\sqrt{3}<eoa>",
            "model_correction": "【判分理由】学生的分析过程中，首先正确地使用了正弦定理，但在计算$BC$时出现了错误，将$\\frac{\\sqrt{3}}{\\sin 60^{\\circ}}$错误地计算为$\\sqrt{3}$，实际上应该是$2$。接着，学生在分析$AB+2BC$的最大值时，理解有误，错误地认为$AB$的最小值为$0$，而没有考虑到$AB$和$BC$的关系以及题目中$AC$的长度。最后，学生给出的答案$2\\sqrt{3}$与标准答案$2\\sqrt{7}$不符。由于学生的分析过程和答案均有较大错误，且未能正确得出最终答案，因此不能给分。\n\n【得分】0分\n【总分】0分",
            "model_correction_score": [
                0.0
            ]
        },
        {
            "index": 6,
            "year": "2012",
            "category": "（新课标）",
            "score": 5,
            "question": "13. （5 分）已知向量 $\\vec{a}, \\vec{b}$ 夹角为 $45^{\\circ}$, 且 $|\\vec{a}|=1,|2 \\vec{a}-\\vec{b}|=\\sqrt{10}$, 则 $|\\vec{b}|=$\n",
            "standard_answer": "$3 \\sqrt{2}$\n",
            "analysis": "解: $\\because<\\vec{a}, \\vec{b}>=45^{\\circ},|\\vec{a}|=1$\n\n$\\therefore \\vec{a} \\cdot \\vec{b}=|\\vec{a}||\\vec{b}| \\cos 45^{\\circ}=\\frac{\\sqrt{2}}{2}|\\vec{b}|$\n\n$\\therefore|2 \\vec{a}-\\vec{b}|=\\sqrt{(2 \\vec{a}-\\vec{b})^{2}}=\\sqrt{4 \\vec{a}^{2}-4 \\vec{a} \\cdot \\vec{b}+\\vec{b}^{2}}=\\sqrt{4-2 \\sqrt{2}|\\vec{b}|+|\\vec{b}|^{2}}=\\sqrt{10}$\n\n解得 $|\\vec{b}|=3 \\sqrt{2}$\n\n故答案为: $3 \\sqrt{2}$\n",
            "model_output": "【解析】\n已知向量 $\\vec{a}, \\vec{b}$ 夹角为 $45^{\\circ}$, 且 $|\\vec{a}|=1,|2 \\vec{a}-\\vec{b}|=\\sqrt{10}$, 则 $|\\vec{b}|=$\n\n根据向量的模的计算公式，我们有：\n\n$|2 \\vec{a}-\\vec{b}|^2 = (2 \\vec{a}-\\vec{b}) \\cdot (2 \\vec{a}-\\vec{b}) = 4 \\vec{a} \\cdot \\vec{a} - 4 \\vec{a} \\cdot \\vec{b} + \\vec{b} \\cdot \\vec{b} = 4|\\vec{a}|^2 - 4 \\vec{a} \\cdot \\vec{b} + |\\vec{b}|^2$\n\n因为向量$\\vec{a}$和$\\vec{b}$的夹角为$45^{\\circ}$，所以$\\vec{a} \\cdot \\vec{b} = |\\vec{a}||\\vec{b}|cos45^{\\circ} = |\\vec{a}||\\vec{b}|/\\sqrt{2}$\n\n所以，我们可以将上述等式改写为：\n\n$|2 \\vec{a}-\\vec{b}|^2 = 4|\\vec{a}|^2 - 4 |\\vec{a}||\\vec{b}|/\\sqrt{2} + |\\vec{b}|^2$\n\n将已知的$|\\vec{a}|=1$和$|2 \\vec{a}-\\vec{b}|=\\sqrt{10}$代入上述等式，我们可以得到：\n\n$10 = 4 - 4|\\vec{b}|/\\sqrt{2} + |\\vec{b}|^2$\n\n这是一个关于$|\\vec{b}|$的二次方程，我们可以解这个方程得到$|\\vec{b}|$的值。<eoe>\n\n【答案】\n解上述二次方程，我们可以得到$|\\vec{b}| = 2$或$|\\vec{b}| = -5$。但是，向量的模不能为负数，所以$|\\vec{b}|$的值只能为2。<eoa>",
            "model_correction": "【判分理由】\n学生在分析过程中正确地使用了向量的模的计算公式和夹角的余弦值，但在解二次方程的过程中出现了错误。学生得到的方程是正确的，但是解方程的结果错误，得到了$|\\vec{b}| = 2$和$|\\vec{b}| = -5$，而正确答案应该是$|\\vec{b}| = 3\\sqrt{2}$。由于学生的答案与标准答案不符，不能给分。\n\n【得分】0分\n\n【总分】0分",
            "model_correction_score": [
                0.0
            ]
        },
        {
            "index": 7,
            "year": "2012",
            "category": "（新课标）",
            "score": 5,
            "question": "16. (5 分) 数列 $\\left\\{a_{n}\\right\\}$ 满足 $a_{n+1}+(-1)^{n} a_{n}=2 n-1$, 则 $\\left\\{a_{n}\\right\\}$ 的前 60 项和为\n",
            "standard_answer": "1830\n",
            "analysis": "解: $\\because a_{n+1}+(-1)^{n} a_{n}=2 n-1$,\n\n故有 $a_{2}-a_{1}=1, a_{3}+a_{2}=3, a_{4}-a_{3}=5, a_{5}+a_{4}=7, a_{6}-a_{5}=9, a_{7}+a_{6}=11, \\ldots a_{50}-a_{49}=97$\n\n从而可得 $a_{3}+a_{1}=2, a_{4}+a_{2}=8, a_{7}+a_{5}=2, a_{8}+a_{6}=24, a_{9}+a_{11}=2, a_{12}+a_{10}=40, a_{13}+a_{11}=2$ $, \\mathrm{a}_{16}+\\mathrm{a}_{14}=56, \\ldots$\n\n从第一项开始, 依次取 2 个相邻奇数项的和都等于 2 , 从第二项开始, 依次取 2 个相邻偶数项的和构成以 8 为首项, 以 16 为公差的等差数列. $\\left\\{a_{n}\\right\\}$ 的前 60 项和为 $15 \\times 2+\\left(15 \\times 8+\\frac{15 \\times 14}{2} \\times 16\\right)=1830$\n故答案为: 1830\n",
            "model_output": "【解析】\n首先，我们可以将给定的递推关系式写成两个分开的形式，即当n为奇数时，$a_{n+1} - a_{n} = 2n - 1$，当n为偶数时，$a_{n+1} + a_{n} = 2n - 1$。\n\n我们可以先计算出前几项的值，以便找出规律。由于没有给出初始项，我们可以假设$a_1 = x$，那么根据递推关系式，我们可以得到$a_2 = 1 - x$，$a_3 = 3 - (1 - x) = x + 2$，$a_4 = 7 - (x + 2) = 5 - x$，$a_5 = 9 - (5 - x) = x + 4$，$a_6 = 11 - (x + 4) = 7 - x$，$a_7 = 13 - (7 - x) = x + 6$，$a_8 = 15 - (x + 6) = 9 - x$。\n\n从这些结果中，我们可以看出，当n为奇数时，$a_n = x + n - 1$，当n为偶数时，$a_n = 2n - 1 - x$。\n\n接下来，我们可以计算前60项的和。由于n从1到60，所以奇数项和偶数项的个数都是30。奇数项的和为$\\sum_{i=1}^{30} (x + 2i - 1) = 30x + 30*29 = 30x + 870$，偶数项的和为$\\sum_{i=1}^{30} (2*2i - 1 - x) = 60*30 - 30x - 30 = 1800 - 30x$。\n\n因此，前60项的和为$30x + 870 + 1800 - 30x = 2670$。\n<eoe>\n【答案】2670<eoa>",
            "model_correction": "【判分理由】学生的分析过程中，虽然正确地将递推关系式分为奇数项和偶数项两种情况进行考虑，但是在计算过程中出现了错误。学生在计算奇数项和偶数项的和时，没有正确地应用递推关系式，导致最终的答案与标准答案不符。学生的答案是2670，而标准答案是1830。由于学生的答案完全错误，且没有正确的分析过程或部分正确的步骤，因此应该给0分。\n\n【得分】0分\n\n【总分】0分",
            "model_correction_score": [
                0.0
            ]
        },
        {
            "index": 8,
            "year": "2013",
            "category": "（新课标ⅰ）",
            "score": 5,
            "question": "13. (5 分) 已知两个单位向量 $\\vec{a}, \\vec{b}$ 的夹角为 $60^{\\circ}, \\vec{c}=t \\vec{a}+(1-t) \\vec{b}$. 若 $\\vec{b} \\cdot \\vec{c}=0$, 则 $t=$\n",
            "standard_answer": "2\n",
            "analysis": "解: $\\because \\vec{c}=t \\vec{a}+(1-t) \\vec{b}, \\vec{c} \\cdot \\vec{b}=0, \\quad \\therefore \\vec{c} \\cdot \\vec{b}=t \\vec{a} \\cdot \\vec{b}+(1-t) \\vec{b}^{2}=0$,\n\n$\\therefore \\mathrm{t} \\cos 60^{\\circ}+1-t=0, \\therefore 1-\\frac{1}{2} t=0$, 解得 $t=2$.\n\n故答案为: 2 .\n",
            "model_output": "【解析】\n已知$\\vec{b} \\cdot \\vec{c}=0$，可以将$\\vec{c}$代入，得到$\\vec{b} \\cdot (t \\vec{a}+(1-t) \\vec{b})=0$。\n根据点乘的分配律，得到$t(\\vec{b} \\cdot \\vec{a})+(1-t)(\\vec{b} \\cdot \\vec{b})=0$。\n由于$\\vec{a}, \\vec{b}$是单位向量，所以$\\vec{b} \\cdot \\vec{b}=1$，$\\vec{b} \\cdot \\vec{a}=\\cos 60^{\\circ}=\\frac{1}{2}$。\n将上述结果代入，得到$t \\cdot \\frac{1}{2}+(1-t) \\cdot 1=0$。\n解这个方程，得到$t=1$。\n<eoe>\n【答案】1<eoa>",
            "model_correction": "【判分理由】学生的分析过程正确地使用了点乘的分配律，并且正确地计算了单位向量的点乘结果。但是，在解方程的最后一步时，学生犯了错误，导致得出了错误的答案。根据学生的分析过程，方程应该是 $t \\cdot \\frac{1}{2} + (1-t) \\cdot 1 = 0$，正确解这个方程应该得到 $t=2$，而不是学生得到的 $t=1$。因此，学生的答案是错误的。\n\n【得分】0分\n\n【总分】0分",
            "model_correction_score": [
                0.0
            ]
        },
        {
            "index": 9,
            "year": "2013",
            "category": "（新课标ⅰ）",
            "score": 5,
            "question": "14. (5 分) 若数列 $\\left\\{a_{n}\\right\\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}=\\frac{2}{3} a_{n}+\\frac{1}{3}$, 则数列 $\\left\\{a_{n}\\right\\}$ 的通项公式是 $a_{n}=$\n",
            "standard_answer": "$(-2)^{n-1}$\n",
            "analysis": "解：当 $n=1$ 时, $a_{1}=s_{1}=\\frac{2}{3} a_{1}+\\frac{1}{3}$, 解得 $a_{1}=1$\n\n当 $n \\geqslant 2$ 时, $a_{n}=S_{n}-S_{n-1}=\\left(\\frac{2}{3} a_{n}+\\frac{1}{3}\\right)-\\left(\\frac{2}{3} a_{n-1}+\\frac{1}{3}\\right)=\\frac{2}{3} a_{n}-\\frac{2}{3} a_{n-1}$,\n\n整理可得 $\\frac{1}{3} a_{n}=-\\frac{2}{3} a_{r-1}$, 即 $\\frac{a_{n}}{a_{n-1}}=-2$,\n\n故数列 $\\left\\{a_{n}\\right\\}$ 从第二项开始是以 -2 为首项, -2 为公比的等比数列, 故当 $n \\geqslant 2$ 时, $a_{n}=(-2)^{n-1}$, 经验证当 $n=1$ 时, 上式也适合,\n\n故答案为: $(-2)^{n-1}$\n",
            "model_output": "【解析】\n首先，我们知道数列的前n项和$S_n$可以表示为$a_1+a_2+...+a_n$。因此，我们可以得到$a_n = S_n - S_{n-1}$。将题目中给出的$S_n$公式代入这个等式，我们得到$a_n = \\frac{2}{3}a_n + \\frac{1}{3} - (\\frac{2}{3}a_{n-1} + \\frac{1}{3})$。化简这个等式，我们得到$a_n = \\frac{2}{3}(a_n - a_{n-1})$。进一步化简，我们得到$a_n = 3a_{n-1}$。这就是数列$\\{a_n\\}$的通项公式。<eoe>\n【答案】$a_n = 3a_{n-1}$<eoa>",
            "model_correction": "【判分理由】学生的分析过程中，将题目中的$S_n$公式代入等式$a_n = S_n - S_{n-1}$是正确的，但在化简等式时出现了错误。学生得到的$a_n = \\frac{2}{3}(a_n - a_{n-1})$是错误的，正确的应该是$a_n = \\frac{2}{3}a_n - \\frac{2}{3}a_{n-1}$，从而得到$\\frac{1}{3}a_n = -\\frac{2}{3}a_{n-1}$，即$a_n = -2a_{n-1}$。因此，学生的答案$a_n = 3a_{n-1}$与标准答案$(-2)^{n-1}$不符。由于学生的答案完全错误，不能给分。\n\n【得分】0分\n\n【总分】0分",
            "model_correction_score": [
                0.0
            ]
        },
        {
            "index": 10,
            "year": "2013",
            "category": "（新课标ⅰ）",
            "score": 5,
            "question": "15. （5 分) 设当 $x=\\theta$ 时, 函数 $f(x)=\\sin x-2 \\cos x$ 取得最大值, 则 $\\cos \\theta=$\n",
            "standard_answer": "$-\\frac{2 \\sqrt{5}}{5}$\n",
            "analysis": "解: $f(x)=\\sin x-2 \\cos x=\\sqrt{5}\\left(\\frac{\\sqrt{5}}{5} \\sin x-\\frac{2 \\sqrt{5}}{5} \\cos x\\right)=\\sqrt{5} \\sin (x-\\alpha)$ （其 中 $\\cos \\alpha=\\frac{\\sqrt{5}}{5}, \\sin \\alpha=\\frac{2 \\sqrt{5}}{5}$, ,\n\n$\\because \\mathrm{x}=\\theta$ 时, 函数 $\\mathrm{f}(\\mathrm{x})$ 取得最大值,\n\n$\\therefore \\sin (\\theta-\\alpha)=1$, 即 $\\sin \\theta-2 \\cos \\theta=\\sqrt{5}$,\n\n又 $\\sin ^{2} \\theta+\\cos ^{2} \\theta=1$,\n\n联立得 $(2 \\cos \\theta+\\sqrt{5})^{2}+\\cos ^{2} \\theta=1$, 解得 $\\cos \\theta=-\\frac{2 \\sqrt{5}}{5}$.\n\n故答案为: $-\\frac{2 \\sqrt{5}}{5}$\n",
            "model_output": "【解析】\n首先，我们需要找到函数 $f(x)=\\sin x-2 \\cos x$ 的最大值。这可以通过求导并令导数为0来实现。\n函数 $f(x)$ 的导数为 $f'(x)=\\cos x+2\\sin x$。\n令 $f'(x)=0$，得到 $\\cos x+2\\sin x=0$，即 $\\sin x=-\\frac{1}{2}\\cos x$。\n我们知道 $\\sin^2 x+\\cos^2 x=1$，将 $\\sin x=-\\frac{1}{2}\\cos x$ 代入，得到 $\\cos^2 x=\\frac{4}{5}$。\n因为 $f(x)$ 是在 $x=\\theta$ 取得最大值，所以 $\\cos \\theta$ 应该取 $\\cos^2 x=\\frac{4}{5}$ 的正根，即 $\\cos \\theta=\\frac{2}{\\sqrt{5}}$。\n<eoe>\n【答案】$\\frac{2}{\\sqrt{5}}$<eoa>",
            "model_correction": "【判分理由】学生的分析过程中，求导的方法是正确的，但在解方程 $\\cos x+2\\sin x=0$ 时出现了错误。学生得到 $\\sin x=-\\frac{1}{2}\\cos x$，但没有正确地解出 $\\cos x$ 的值。在将 $\\sin x=-\\frac{1}{2}\\cos x$ 代入 $\\sin^2 x+\\cos^2 x=1$ 后，学生没有正确地解出 $\\cos x$ 的值，而是错误地取了 $\\cos^2 x$ 的正根，没有考虑到函数在 $x=\\theta$ 时取得最大值，应该是 $\\sin(\\theta-\\alpha)=1$，而不是 $\\cos \\theta$ 取正值。因此，学生的答案与标准答案不符。\n\n【得分】0分，因为学生的答案与标准答案完全不符，且解题过程中存在关键性错误。\n\n【总分】0分",
            "model_correction_score": [
                0.0
            ]
        },
        {
            "index": 11,
            "year": "2013",
            "category": "（新课标ⅰ）",
            "score": 5,
            "question": "16. （5 分）若函数 $f(x)=\\left(1-x^{2}\\right)\\left(x^{2}+a x+b\\right)$ 的图象关于直线 $x=-2$ 对称, 则 $f(x)$ 的最大值为\n",
            "standard_answer": "16\n",
            "analysis": "解: $\\because$ 函数 $f(x)=\\left(1-x^{2}\\right)\\left(x^{2}+a x+b\\right)$ 的图象关于直线 $x=-2$ 对称, $\\therefore f(-1)=f(-3)=0$ 且 $f(1)=f(-5)=0$,\n\n即 $\\left[1-(-3)^{2}\\right]\\left[(-3)^{2}+a \\cdot(-3)+b\\right]=0$ 且 $\\left[1-(-5)^{2}\\right]\\left[(-5)^{2}+a \\cdot(-5\\right.$ $+b]=0$,\n\n解之得 $\\left\\{\\begin{array}{c}a=8 \\\\ b=15\\end{array}\\right.$,\n\n因此, $f(x)=\\left(1-x^{2}\\right)\\left(x^{2}+8 x+15\\right)=-x^{4}-8 x^{3}-14 x^{2}+8 x+15$,\n\n求导数, 得 $f^{\\prime}(x)=-4 x^{3}-24 x^{2}-28 x+8$,\n\n令 $f^{\\prime}(x)=0$, 得 $x_{1}=-2-\\sqrt{5}, x_{2}=-2, x_{3}=-2+\\sqrt{5}$,\n\n当 $x \\in(-\\infty,-2-\\sqrt{5})$ 时, $f^{\\prime}(x)>0$; 当 $x \\in(-2-\\sqrt{5},-2)$ 时, $f^{\\prime}(x)<$ 0\n\n当 $x \\in(-2,-2+\\sqrt{5})$ 时, $f^{\\prime}(x)>0$; 当 $x \\in(-2+\\sqrt{5},+\\infty)$ 时, $f^{\\prime}(x)<0$ $\\therefore f(x)$ 在区间 $(-\\infty,-2-\\sqrt{5})$ 、 $(-2,-2+\\sqrt{5})$ 上是增函数, 在区间 $(-2-$ $\\sqrt{5},-2) 、(-2+\\sqrt{5},+\\infty)$ 上是减函数.\n\n又 $\\because f(-2-\\sqrt{5})=f(-2+\\sqrt{5})=16$,\n\n$\\therefore f(x)$ 的最大值为 16 .\n\n故答案为: 16 .\n",
            "model_output": "【解析】\n首先，由于函数$f(x)$的图象关于直线$x=-2$对称，那么函数$f(x)$在$x=-2$处取得极值。我们可以通过求导找到函数的极值点。\n\n求导得：$f'(x) = -2x(x^2+ax+b) + (1-x^2)(2x+a)$。\n\n令$f'(x) = 0$，解得$x=-2$，即$-2(-2^2+2a+b) + (1-(-2)^2)(-4+a) = 0$，解得$a=-3,b=-6$。\n\n所以，$f(x)=(1-x^2)(x^2-3x-6)$。\n\n再次求导，得到$f''(x) = -2(3x^2-6x-3)$。\n\n令$f''(x) = 0$，解得$x=-1,1$。这两个点是函数的拐点，不是极值点。\n\n所以，函数的极值点只有$x=-2$一个，即函数的最大值就是$f(-2)$。\n\n代入$x=-2$，得到$f(-2) = (1-(-2)^2)((-2)^2-3*(-2)-6) = -3$。\n\n<eoe>\n【答案】-3<eoa>",
            "model_correction": "【判分理由】学生的分析过程中，首先错误地认为函数在 $x=-2$ 处取得极值，这是错误的，因为题目中的对称性并不直接意味着 $x=-2$ 是极值点。接着，学生在求导过程中出现了错误，导致得到错误的 $a$ 和 $b$ 的值。学生没有正确地使用题目中的对称性来求解 $a$ 和 $b$。最终，学生得出的答案是 $-3$，这与标准答案 $16$ 不符。因此，学生的答案完全错误。\n\n【得分】0分\n\n【总分】0分",
            "model_correction_score": [
                0.0
            ]
        },
        {
            "index": 12,
            "year": "2013",
            "category": "（新课标ⅱ）",
            "score": 5,
            "question": "13. (5 分) 已知正方形 $A B C D$ 的边长为 $2, E$ 为 $C D$ 的中点, 则 $\\overrightarrow{\\mathrm{AE}} \\cdot \\overrightarrow{\\mathrm{BD}}=$\n",
            "standard_answer": "2\n",
            "analysis": "解: $\\because$ 已知正方形 $A B C D$ 的边长为 $2, E$ 为 $C D$ 的中点, 则 $\\overrightarrow{A B} \\cdot \\overrightarrow{A D}=0$, 故 $\\overrightarrow{\\mathrm{AE}} \\cdot \\overrightarrow{\\mathrm{BD}}=(\\overrightarrow{\\mathrm{AD}}+\\overrightarrow{\\mathrm{DE}}) \\cdot(\\overrightarrow{\\mathrm{BA}}+\\overrightarrow{\\mathrm{AD}})=\\left(\\overrightarrow{\\mathrm{AD}}+\\frac{1}{2} \\overrightarrow{\\mathrm{AB}}\\right) \\cdot(\\overrightarrow{\\mathrm{AD}}-\\overrightarrow{\\mathrm{AB}})=\\overrightarrow{\\mathrm{AD}}^{2}-\\overrightarrow{\\mathrm{AD}} \\cdot \\overrightarrow{\\mathrm{AB}}+$ $\\frac{1}{2} \\overrightarrow{\\mathrm{AB}} \\cdot \\overrightarrow{\\mathrm{AD}}^{-}-\\frac{1}{2} \\overrightarrow{\\mathrm{AB}}^{2}=4+0-0-\\frac{1}{2} \\times 4=2$,\n\n故答案为: 2 .\n",
            "model_output": "【解析】\n首先，我们需要知道向量的点积公式：$\\overrightarrow{AB} \\cdot \\overrightarrow{AC} = |AB| * |AC| * cos\\theta$，其中$\\theta$是向量AB和AC之间的夹角。\n\n在这个问题中，$\\overrightarrow{AE}$和$\\overrightarrow{BD}$是正方形的对角线，它们的夹角是90度，cos90度=0。\n\n所以，$\\overrightarrow{AE} \\cdot \\overrightarrow{BD} = |AE| * |BD| * cos90° = 0$。\n<eoe>\n【答案】0<eoa>",
            "model_correction": "【判分理由】学生的分析过程错误地认为向量 $\\overrightarrow{AE}$ 和 $\\overrightarrow{BD}$ 的夹角是90度，这是不正确的。实际上，$\\overrightarrow{AE}$ 是从正方形的一个顶点到边的中点的向量，而 $\\overrightarrow{BD}$ 是对角线向量，它们的夹角不是90度。因此，学生的答案0与标准答案2不符。由于学生的分析过程和答案完全错误，应给0分。\n\n【得分】0分\n【总分】0分",
            "model_correction_score": [
                0.0
            ]
        },
        {
            "index": 13,
            "year": "2013",
            "category": "（新课标ⅱ）",
            "score": 5,
            "question": "14. (5 分) 从 $\\mathrm{n}$ 个正整数 $1,2, \\ldots, \\mathrm{n}$ 中任意取出两个不同的数, 若取出的两 数之和等于 5 的概率为 $\\frac{1}{14}$, 则 $n=$\n",
            "standard_answer": "8\n",
            "analysis": "解: 从 $n$ 个正整数 $1,2, \\ldots, n$ 中任意取出两个不同的数, 取出的两数 之和等于 5 的情况有: $(1,4) ，(2,3)$ 共 2 种情况;\n\n从 $\\mathrm{n}$ 个正整数 $1,2, \\ldots, n$ 中任意取出两个不同的数的所有不同取法种数为 $C_{n}^{2}$,\n\n由古典概型概率计算公式得:\n\n从 $\\mathrm{n}$ 个正整数 $1,2, \\ldots, n$ 中任意取出两个不同的数, 取出的两数之和等于 5 的 概率为 $p=\\frac{2}{C_{n}^{2}}=\\frac{1}{14}$. 所以 $C_{n}^{2}=28$, 即 $\\frac{n(n-1)}{2}=28$, 解得 $n=8$.\n\n故答案为: 8 .\n",
            "model_output": "【解析】\n题目要求从n个正整数中任意取出两个不同的数，这两个数的和等于5的概率为1/14。我们知道，只有(1,4)和(2,3)这两对数的和等于5。所以，满足条件的组合有2种。\n总的组合数为从n个数中取出两个数的组合数，即C(n,2)=n*(n-1)/2。\n所以，我们可以得到方程：2/(n*(n-1)/2)=1/14，解这个方程，我们可以得到n的值。\n<eoe>\n【答案】\n解方程得到n=8.<eoa>",
            "model_correction": "【判分理由】\n学生的分析过程正确地识别了满足条件的组合数为2，并且正确地表示了总的组合数为 $C(n,2)=\\frac{n(n-1)}{2}$。学生接着正确地建立了概率方程 $2/(n*(n-1)/2)=1/14$。学生没有显式地写出方程的解过程，但是最终给出了正确的答案 $n=8$。由于学生的答案是正确的，并且分析过程虽然没有详细的解方程步骤，但是关键步骤和最终答案都是正确的，可以给予全分。\n\n【得分】5分\n\n【总分】5分",
            "model_correction_score": [
                5.0
            ]
        },
        {
            "index": 14,
            "year": "2013",
            "category": "（新课标ⅱ）",
            "score": 5,
            "question": "15. (5 分) 设 $\\theta$ 为第二象限角, 若 $\\tan \\left(\\theta+\\frac{\\pi}{4}\\right)=\\frac{1}{2}$, 则 $\\sin \\theta+\\cos \\theta=$\n",
            "standard_answer": "$-\\frac{\\sqrt{10}}{5}$\n",
            "analysis": "解: $\\because \\tan \\left(\\theta+\\frac{\\pi}{4}\\right)=\\frac{\\tan \\theta+1}{1-\\tan \\theta}=\\frac{1}{2}$,\n\n$\\therefore \\tan \\theta=-\\frac{1}{3}$,\n\n而 $\\cos ^{2} \\theta=\\frac{\\cos ^{2} \\theta}{\\sin ^{2} \\theta+\\cos ^{2} \\theta}=\\frac{1}{1+\\tan ^{2} \\theta}$,\n\n$\\because \\theta$ 为第二象限角,\n\n$\\therefore \\cos \\theta=-\\sqrt{\\frac{1}{1+\\tan ^{2} \\theta}}=-\\frac{3 \\sqrt{10}}{10}, \\sin \\theta=\\sqrt{1-\\cos ^{2} \\theta}=\\frac{\\sqrt{10}}{10}$,\n\n则 $\\sin \\theta+\\cos \\theta=\\frac{\\sqrt{10}}{10}-\\frac{3 \\sqrt{10}}{10}=-\\frac{\\sqrt{10}}{5}$.\n\n故答案为: $-\\frac{\\sqrt{10}}{5}$\n",
            "model_output": "【解析】\n根据题目，我们知道 $\\tan \\left(\\theta+\\frac{\\pi}{4}\\right)=\\frac{1}{2}$，我们可以利用正切的加角公式将其转化为 $\\frac{\\tan \\theta + \\tan \\frac{\\pi}{4}}{1 - \\tan \\theta \\cdot \\tan \\frac{\\pi}{4}} = \\frac{1}{2}$，因为 $\\tan \\frac{\\pi}{4} = 1$，所以可以得到 $\\frac{\\tan \\theta + 1}{1 - \\tan \\theta} = \\frac{1}{2}$，解这个方程可以得到 $\\tan \\theta = -1$。\n\n因为 $\\theta$ 是第二象限角，所以 $\\cos \\theta < 0$，$\\sin \\theta > 0$。因此，$\\tan \\theta = \\frac{\\sin \\theta}{\\cos \\theta} = -1$，我们可以得到 $\\sin \\theta = - \\cos \\theta$。\n\n所以，$\\sin \\theta + \\cos \\theta = - \\cos \\theta + \\cos \\theta = 0$。\n<eoe>\n【答案】0<eoa>",
            "model_correction": "【判分理由】学生在解题过程中犯了错误。学生在解正切方程时错误地得出 $\\tan \\theta = -1$，而正确的解应该是 $\\tan \\theta = -\\frac{1}{3}$。此外，学生在计算 $\\sin \\theta + \\cos \\theta$ 时，错误地使用了 $\\sin \\theta = - \\cos \\theta$，这是基于错误的 $\\tan \\theta$ 值得出的结论。因此，学生的最终答案是错误的。\n\n【得分】0分\n\n【总分】0分",
            "model_correction_score": [
                0.0
            ]
        },
        {
            "index": 15,
            "year": "2013",
            "category": "（新课标ⅱ）",
            "score": 5,
            "question": "16. (5 分) 等差数列 $\\left\\{a_{n}\\right\\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$, 已知 $S_{10}=0, S_{15}=25$, 则 $n S_{n}$ 的最小 值为\n",
            "standard_answer": "-49\n",
            "analysis": "解: 设等差数列 $\\left\\{a_{n}\\right\\}$ 的首项为 $a_{1}$, 公差为 $d$,\n\n$\\because s_{10}=10 a_{1}+45 d=0, s_{15}=15 a_{1}+105 d=25$,\n\n$\\therefore \\mathrm{a}_{1}=-3, \\mathrm{~d}=\\frac{2}{3}$,\n\n$\\therefore \\mathrm{S}_{\\mathrm{n}}=\\mathrm{na}_{1}+\\frac{\\mathrm{n}(\\mathrm{n}-1)}{2} \\mathrm{~d}=\\frac{1}{3} \\mathrm{n}^{2}-\\frac{10}{3} n$,\n\n$\\therefore n S_{n}=\\frac{1}{3} n^{3}-\\frac{10}{3} n^{2}$, 令 $n S_{n}=f(n)$,\n\n$\\therefore f^{\\prime}(n)=n^{2}-\\frac{20}{3} n$\n\n$\\therefore$ 当 $n=\\frac{20}{3}$ 时, $f(n)$ 取得极值, 当 $n<\\frac{20}{3}$ 时, $f(n)$ 递减; 当 $n>\\frac{20}{3}$ 时, $f(n)$ 递增;\n\n因此只需比较 $f$ (6) 和 $f(7)$ 的大小即可.\n\n$f(6)=-48, f(7)=-49$,\n\n故 $n S_{n}$ 的最小值为 -49 .\n\n故答案为: -49 .\n",
            "model_output": "【解析】\n等差数列的前n项和公式为：$S_n=\\frac{n}{2}(a_1+a_n)$，其中$a_1$为首项，$a_n$为第n项。\n由题意知，$S_{10}=0$，$S_{15}=25$，可以得到两个方程：\n$\\frac{10}{2}(a_1+a_{10})=0$，得到$a_1+a_{10}=0$；\n$\\frac{15}{2}(a_1+a_{15})=25$，得到$a_1+a_{15}=\\frac{50}{3}$。\n由于是等差数列，$a_{15}=a_{10}+5d$，其中d为公差，代入上述两个方程，可以解得公差$d=\\frac{10}{9}$，首项$a_1=-\\frac{50}{9}$。\n所以，$nS_n=n*\\frac{n}{2}(a_1+a_n)=\\frac{n^2}{2}(2a_1+(n-1)d)$。\n对$nS_n$求导，得到$\\frac{d(nS_n)}{dn}=n(a_1+d)+\\frac{n^2}{2}*d$，令其等于0，解得$n=-\\frac{2a_1}{3d}=\\frac{100}{6}=\\frac{50}{3}$。\n因此，$nS_n$的最小值为$\\frac{50}{3}S_{50/3}=\\frac{50}{3}*\\frac{50/3}{2}(2a_1+(50/3-1)d)$。\n<eoe>\n【答案】\n将$a_1$和$d$的值代入上述公式，得到$nS_n$的最小值为$\\frac{250000}{81}$。<eoa>",
            "model_correction": "【判分理由】\n学生在解题过程中正确地使用了等差数列的前n项和公式，并且正确地建立了两个方程来求解首项$a_1$和公差$d$。然而，在求解这两个方程时，学生犯了错误，得到了错误的公差$d=\\frac{10}{9}$和首项$a_1=-\\frac{50}{9}$。这导致后续的所有计算都是基于错误的值，因此学生的最终答案是错误的。\n\n学生的答案中，对$nS_n$的求导过程也是错误的，因为他们没有正确地应用求导法则。此外，学生没有正确地找到$nS_n$的最小值，因为他们没有比较$f(6)$和$f(7)$的值。\n\n由于学生的解题过程中存在多个错误，并且最终答案错误，根据高考数学试卷的评分标准，学生此题得分应为0分。\n\n【得分】0分\n【总分】0分",
            "model_correction_score": [
                0.0
            ]
        },
        {
            "index": 16,
            "year": "2014",
            "category": "（新课标ⅰ）",
            "score": 5,
            "question": "13. （5 分) $(x-y)(x+y)^{8}$ 的展开式中 $x^{2} y^{7}$ 的系数为___. (用数字填写 答案)\n",
            "standard_answer": "-20\n",
            "analysis": "解: $(x+y)^{8}$ 的展开式中, 含 $x y^{7}$ 的系数是: 8 .\n\n含 $x^{2} y^{6}$ 的系数是 28 ,\n\n$\\therefore(x-y)(x+y)^{8}$ 的展开式中 $x^{2} y^{7}$ 的系数为: $8-28=-20$.\n\n故答案为: - 20\n",
            "model_output": "【解析】\n首先，我们需要知道$(x-y)(x+y)^{8}$的展开式中$x^{2} y^{7}$的系数，这意味着我们需要找到$(x+y)^{8}$的展开式中$x^{2} y^{6}$的系数，因为我们需要从$(x-y)$中取一个$-y$来得到$y^{7}$。\n\n根据二项式定理，$(x+y)^{8}$的展开式中$x^{2} y^{6}$的系数为$C_{8}^{2}$，即$8*7/2=28$。\n\n然后，我们需要将这个系数乘以$(x-y)$的展开式中$-y$的系数，即$-1$。\n\n所以，$(x-y)(x+y)^{8}$的展开式中$x^{2} y^{7}$的系数为$28*(-1)=-28$。<eoe>\n【答案】-28<eoa>",
            "model_correction": "【判分理由】学生在分析过程中正确地识别了需要计算$(x+y)^{8}$的展开式中$x^{2} y^{6}$的系数，也正确地使用了二项式定理计算出了系数28。然而，学生在最后一步计算时犯了错误，没有考虑到$(x+y)^{8}$的展开式中还有$x y^{7}$的项，其系数为8，应该是$8-28$而不是直接乘以$-1$。因此，学生的最终答案是错误的。\n\n【得分】2分\n\n【总分】2分",
            "model_correction_score": [
                2.0
            ]
        },
        {
            "index": 17,
            "year": "2014",
            "category": "（新课标ⅰ）",
            "score": 5,
            "question": "14.（5 分）甲、乙、丙三位同学被问到是否去过 $A, B ， C$ 三个城市时, 甲说：我去过的城市比乙多，但没去过 $B$ 城市;\n\n乙说：我没去过 $C$ 城市;\n\n丙说：我们三人去过同一城市;\n\n由此可判断乙去过的城市为\n",
            "standard_answer": "$A$\n",
            "analysis": "解：由乙说: 我没去过 $\\mathrm{C}$ 城市, 则乙可能去过 $\\mathrm{A}$ 城市或 $\\mathrm{B}$ 城市, 但甲说: 我去过的城市比乙多, 但没去过 B 城市, 则乙只能是去过 A, B 中的任 一个,\n\n再由丙说: 我们三人去过同一城市,\n\n则由此可判断乙去过的城市为 A.\n\n故答案为: $A$.\n",
            "model_output": "【解析】\n根据题目，我们可以得到以下信息：\n1. 甲去过的城市比乙多，但没去过 B 城市，所以甲去过的城市可能是 A，C 或者 A，B，C 中的两个。\n2. 乙没去过 C 城市，所以乙去过的城市可能是 A，B 或者只是其中一个。\n3. 丙说我们三人去过同一城市，所以这个城市应该是甲，乙，丙都去过的，也就是乙去过的城市。\n\n综合以上信息，我们可以得出乙去过的城市是 A 城市。<eoe>\n【答案】A<eoa>",
            "model_correction": "【判分理由】学生的分析过程正确地解释了题目中的信息，并且得出了正确的结论。学生的答案与标准答案一致。\n【得分】5分\n【总分】5分",
            "model_correction_score": [
                5.0
            ]
        },
        {
            "index": 18,
            "year": "2014",
            "category": "（新课标ⅰ）",
            "score": 5,
            "question": "15. (5 分) 已知 $A, B, C$ 为圆 $O$ 上的三点, 若 $\\overrightarrow{\\mathrm{AO}}=\\frac{1}{2}(\\overrightarrow{\\mathrm{AB}}+\\overrightarrow{\\mathrm{AC}})$, 则 $\\overrightarrow{\\mathrm{AB}} \\overrightarrow{\\mathrm{AC}}$ 的 夹角为\n",
            "standard_answer": "$90^{\\circ}$\n",
            "analysis": "解：在圆中若 $\\overrightarrow{\\mathrm{AO}}=\\frac{1}{2}(\\overrightarrow{\\mathrm{AB}}+\\overrightarrow{\\mathrm{AC}})$,\n\n即 $2 \\overrightarrow{\\mathrm{AO}}=\\overrightarrow{\\mathrm{AB}}+\\overrightarrow{\\mathrm{AC}}$,\n\n即 $\\overrightarrow{A B}+\\overrightarrow{A C}$ 的和向量是过 $A$, $O$ 的直径,\n\n则以 $A B, A C$ 为邻边的四边形是矩形,\n\n则 $\\overrightarrow{\\mathrm{AB}} \\perp \\overrightarrow{\\mathrm{AC}}$,\n\n即 $\\overrightarrow{\\mathrm{AB}}$ 与 $\\overrightarrow{\\mathrm{AC}}$ 的夹角为 $90^{\\circ}$,\n\n故答案为: $90^{\\circ}$\n",
            "model_output": "【解析】\n题目已知 $\\overrightarrow{\\mathrm{AO}}=\\frac{1}{2}(\\overrightarrow{\\mathrm{AB}}+\\overrightarrow{\\mathrm{AC}})$，我们可以将其改写为 $\\overrightarrow{\\mathrm{AB}}=2\\overrightarrow{\\mathrm{AO}}-\\overrightarrow{\\mathrm{AC}}$。因为向量的夹角公式为 $\\cos \\theta = \\frac{\\overrightarrow{\\mathrm{AB}} \\cdot \\overrightarrow{\\mathrm{AC}}}{|\\overrightarrow{\\mathrm{AB}}| |\\overrightarrow{\\mathrm{AC}}|}$，我们可以将 $\\overrightarrow{\\mathrm{AB}}$ 替换为 $2\\overrightarrow{\\mathrm{AO}}-\\overrightarrow{\\mathrm{AC}}$，得到 $\\cos \\theta = \\frac{(2\\overrightarrow{\\mathrm{AO}}-\\overrightarrow{\\mathrm{AC}}) \\cdot \\overrightarrow{\\mathrm{AC}}}{|2\\overrightarrow{\\mathrm{AO}}-\\overrightarrow{\\mathrm{AC}}| |\\overrightarrow{\\mathrm{AC}}|}$。由于向量 $\\overrightarrow{\\mathrm{AO}}$ 和 $\\overrightarrow{\\mathrm{AC}}$ 都在圆上，它们的模长相等，即 $|\\overrightarrow{\\mathrm{AO}}|=|\\overrightarrow{\\mathrm{AC}}|$，因此上述公式可以简化为 $\\cos \\theta = \\frac{(2-\\cos \\alpha)}{2-\\cos \\alpha}$，其中 $\\alpha$ 是 $\\overrightarrow{\\mathrm{AO}}$ 和 $\\overrightarrow{\\mathrm{AC}}$ 的夹角。由于 $\\overrightarrow{\\mathrm{AO}}$ 和 $\\overrightarrow{\\mathrm{AC}}$ 都在圆上，$\\alpha$ 应为 $0$ 或 $\\pi$，所以 $\\cos \\theta = 1$ 或 $-1$，即 $\\theta = 0$ 或 $\\pi$。由于 $\\overrightarrow{\\mathrm{AB}}$ 和 $\\overrightarrow{\\mathrm{AC}}$ 不可能重合，所以 $\\theta = \\pi$，即 $\\overrightarrow{\\mathrm{AB}}$ 和 $\\overrightarrow{\\mathrm{AC}}$ 的夹角为 $\\pi$。<eoe>\n【答案】$\\pi$<eoa>",
            "model_correction": "【判分理由】学生的答案是错误的。学生在分析过程中错误地将向量 $\\overrightarrow{\\mathrm{AB}}$ 和 $\\overrightarrow{\\mathrm{AC}}$ 的夹角计算为 $\\pi$，即 $180^{\\circ}$，这与题目中的条件和标准答案不符。标准答案指出 $\\overrightarrow{\\mathrm{AB}}$ 与 $\\overrightarrow{\\mathrm{AC}}$ 的夹角为 $90^{\\circ}$。因此，学生的答案与标准答案不一致，不能给分。\n\n【得分】0分\n\n【总分】0分",
            "model_correction_score": [
                0.0
            ]
        },
        {
            "index": 19,
            "year": "2014",
            "category": "（新课标ⅰ）",
            "score": 5,
            "question": "16. (5 分) 已知 $a, b, c$ 分别为 $\\triangle A B C$ 的三个内角 $A, B, C$ 的对边, $a=2$ 且 $(2+b$ ) $(\\sin A-\\sin B)=(c-b) \\sin C$, 则 $\\triangle A B C$ 面积的最大值为\n",
            "standard_answer": "$\\sqrt{3}$\n",
            "analysis": "解: 因为: $(2+b)(\\sin A-\\sin B)=(c-b) \\sin C$\n\n$\\Rightarrow(2+b) \\quad(a-b)=(c-b) c$\n\n$\\Rightarrow 2 a-2 b+a b-b^{2}=c^{2}-b c$\n\n又因为: $a=2$,\n\n所以: $a^{2}-b^{2}=c^{2}-b c \\Rightarrow b^{2}+c^{2}-a^{2}=b c \\Rightarrow \\cos A=\\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2 b c}=\\frac{1}{2} \\Rightarrow A=\\frac{\\pi}{3}$, $\\triangle \\mathrm{ABC}$ 面积 $\\mathrm{S}=\\frac{1}{2} b c \\sin A=\\frac{\\sqrt{3}}{4} b c$,\n\n而 $b^{2}+c^{2}-a^{2}=b c$\n\n$\\Rightarrow b^{2}+c^{2}-b c=a^{2}$\n\n$\\Rightarrow b^{2}+c^{2}-b c=4$\n\n$\\Rightarrow b c \\leqslant 4$\n\n所以: $S=\\frac{1}{2} b c \\sin A=\\frac{\\sqrt{3}}{4} b c \\leqslant \\sqrt{3}$, 即 $\\triangle A B C$ 面积的最大值为 $\\sqrt{3}$.\n\n故答案为: $\\sqrt{3}$.\n",
            "model_output": "【解析】\n根据题意，我们知道 $a=2$，并且有等式 $(2+b) (\\sin A-\\sin B)=(c-b) \\sin C$。\n\n首先，我们知道在三角形中，面积 $S=\\frac{1}{2}ab\\sin C=\\frac{1}{2}bc\\sin A=\\frac{1}{2}ca\\sin B$。\n\n我们需要找到面积的最大值，那么我们需要找到 $b$ 和 $c$ 的值，使得面积最大。\n\n根据三角形的性质，我们知道 $a+b>c$，$a+c>b$，$b+c>a$，所以我们有 $b>0$，$c>2$。\n\n然后，我们将等式 $(2+b) (\\sin A-\\sin B)=(c-b) \\sin C$ 转化为关于 $b$ 和 $c$ 的等式。\n\n根据正弦定理，我们知道 $\\frac{a}{\\sin A}=\\frac{b}{\\sin B}=\\frac{c}{\\sin C}$，所以我们有 $\\sin A=\\frac{a}{c}$，$\\sin B=\\frac{b}{c}$，$\\sin C=\\frac{c}{a}$。\n\n将这些值代入等式，我们得到 $(2+b) (\\frac{a}{c}-\\frac{b}{c})=(c-b) \\frac{c}{a}$。\n\n简化这个等式，我们得到 $2a-ba=b^2-bc$。\n\n因为 $a=2$，所以我们得到 $4-b= b^2-bc$。\n\n这是一个关于 $b$ 和 $c$ 的二次方程，我们可以通过求解这个方程来找到 $b$ 和 $c$ 的值。\n\n然后，我们将 $b$ 和 $c$ 的值代入面积公式 $S=\\frac{1}{2}ab\\sin C$，来找到面积的最大值。\n\n但是，我们需要注意的是，由于 $b$ 和 $c$ 的值是由二次方程求解得到的，所以可能存在两个解，我们需要找到使得面积最大的那个解。\n\n最后，我们还需要验证我们找到的解是否满足三角形的性质，即 $a+b>c$，$a+c>b$，$b+c>a$。\n\n如果满足，那么我们找到的解就是正确的，否则，我们需要重新求解二次方程，找到满足三角形性质的解。\n\n这个问题需要一些数学知识和技巧，包括三角形的性质，正弦定理，二次方程的求解，以及如何找到使得函数最大或最小的值。<eoe>\n【答案】\n此题需要具体的数学计算，由于没有给出具体的数值，所以无法给出具体的答案。<eoa>",
            "model_correction": "【判分理由】学生的分析过程虽然提到了题目中的等式，并且正确地指出了需要找到 $b$ 和 $c$ 的值来最大化面积，但是在解题过程中并没有正确地应用题目中的等式，也没有得出正确的结论。学生的答案中提到了正弦定理和三角形的性质，但是并没有正确地使用这些知识点来解题。最终，学生没有给出具体的答案，而是结束在了一个开放的结论上。因此，学生的答案没有达到题目的要求，也没有得出正确的结论。\n\n【得分】0分\n\n【总分】0分",
            "model_correction_score": [
                0.0
            ]
        },
        {
            "index": 20,
            "year": "2014",
            "category": "（新课标ⅱ）",
            "score": 5,
            "question": "13. (5 分） $(x+a)^{10}$ 的展开式中, $x^{7}$ 的系数为 15 , 则 $a=$\n",
            "standard_answer": "$\\frac{1}{2}$\n",
            "analysis": "解: $(x+a)^{10}$ 的展开式的通项公式为 $T_{r+1}=C_{10}^{r} \\bullet x^{10-r} \\bullet a^{r}$,\n\n令 10- $r=7$, 求得 $r=3$, 可得 $x^{7}$ 的系数为 $a^{3} \\bullet C_{10}^{3}=120 a^{3}=15$,\n\n$\\therefore a=\\frac{1}{2}$\n\n故答案为: $\\frac{1}{2}$.\n",
            "model_output": "【解析】根据二项式定理，$(x+a)^{10}$的展开式中，$x^{7}$的项为$C_{10}^{7}x^{7}a^{3}$，其系数为$C_{10}^{7}a^{3}$。根据题目，这个系数等于15，所以我们有$C_{10}^{7}a^{3}=15$。我们知道$C_{10}^{7}=120$，所以我们可以解这个方程得到$a$的值。<eoe>\n【答案】$\\sqrt[3]{\\frac{15}{120}}$<eoa>",
            "model_correction": "【判分理由】学生在分析过程中正确地使用了二项式定理，并且正确地找到了$x^7$项的系数应该是$C_{10}^{7}a^3$。然而，在计算$C_{10}^{7}$时犯了错误，正确的$C_{10}^{7}$应该是$C_{10}^{3}$，因为$C_{n}^{r}=C_{n}^{n-r}$。此外，学生在解方程时也犯了错误，没有正确地求出$a$的值。正确的$a$值应该是$\\sqrt[3]{\\frac{15}{120}}$，但是学生没有计算这个立方根的值，而是直接写下了表达式。因此，学生的答案是不完整的。\n\n【得分】由于学生正确地使用了二项式定理，并且正确地设置了方程，但是在计算组合数和解方程时犯了错误，可以给予部分分数。考虑到学生的分析过程基本正确，但计算错误导致最终答案错误，可以给予2分。\n\n【总分】2分",
            "model_correction_score": [
                2.0
            ]
        },
        {
            "index": 21,
            "year": "2014",
            "category": "（新课标ⅱ）",
            "score": 5,
            "question": "14. (5 分) 函数 $f(x)=\\sin (x+2 \\phi)-2 \\sin \\phi \\cos (x+\\phi)$ 的最大值为\n",
            "standard_answer": "1\n",
            "analysis": "解：函数 $f(x)=\\sin (x+2 \\phi)-2 \\sin \\phi \\cos (x+\\phi)=\\sin [(x+\\phi)$\n\n$+\\phi]-2 \\sin \\phi \\cos (x+\\phi)$\n\n$=\\sin (x+\\phi) \\cos \\phi+\\cos (x+\\phi) \\sin \\phi-2 \\sin \\phi \\cos (x+\\phi)=\\sin (x+\\phi) \\cos \\phi^{-} \\cos (x+\\phi$\n\n$\\sin \\phi$\n\n$=\\sin [(x+\\phi)-\\phi]=\\sin x$\n\n故函数 $f(x)$ 的最大值为 1 ,\n\n故答案为: 1 .\n",
            "model_output": "【解析】\n首先，我们需要知道正弦函数的性质。对于任何实数x，sin(x)的值始终在-1和1之间。因此，函数f(x)的最大值必然小于或等于1。\n\n然后，我们需要将函数f(x)转化为更易于处理的形式。我们可以利用三角恒等式$\\sin(a+b)=\\sin a \\cos b+\\cos a \\sin b$，将函数f(x)转化为$\\sin(x+2\\phi)-2\\sin\\phi\\cos\\phi\\cos x-\\sin\\phi\\sin x$。\n\n然后，我们可以利用三角恒等式$\\sin^2\\phi+\\cos^2\\phi=1$，将函数f(x)进一步化简为$\\sin(x+2\\phi)-\\sin\\phi$。\n\n最后，我们可以利用正弦函数的性质，知道$\\sin(x+2\\phi)$的最大值为1，$\\sin\\phi$的最大值也为1，所以函数f(x)的最大值为1-(-1)=2。\n<eoe>\n【答案】2<eoa>",
            "model_correction": "【判分理由】学生的分析过程中，首先正确地指出了正弦函数的值域在-1和1之间，但在将函数转化为更易于处理的形式时出现了错误。学生错误地将原函数转化为$\\sin(x+2\\phi)-2\\sin\\phi\\cos\\phi\\cos x-\\sin\\phi\\sin x$，这个转化是不正确的。接着，学生又错误地将函数化简为$\\sin(x+2\\phi)-\\sin\\phi$，这个化简过程也是错误的。最后，学生错误地得出函数$f(x)$的最大值为2，这与标准答案1不符。\n\n【得分】0分，学生的分析过程和答案均与标准答案不符，且关键步骤错误，没有给出正确的解题过程或正确答案，因此不得分。\n\n【总分】0分",
            "model_correction_score": [
                0.0
            ]
        },
        {
            "index": 22,
            "year": "2014",
            "category": "（新课标ⅱ）",
            "score": 5,
            "question": "15. (5 分) 已知偶函数 $f(x)$ 在 $[0,+\\infty)$ 单调递减, $f(2)=0$, 若 $f(x-1)>$ 0 , 则 $x$ 的取值范围是\n",
            "standard_answer": "$(-1,3)$\n",
            "analysis": "解: $\\because$ 偶函数 $f(x)$ 在 $[0,+\\infty)$ 单调递减, $f(2)=0$,\n\n$\\therefore$ 不等式 $f(x-1)>0$ 等价为 $f(x-1)>f(2)$,\n\n即 $f(|x-1|)>f(2) ，$\n\n$\\therefore|x-1|<2$\n\n解得 $-1<x<3$,\n\n故答案为: $(-1,3)$\n",
            "model_output": "【解析】\n首先，我们知道偶函数的性质是：如果x在函数的定义域内，那么f(-x) = f(x)。\n由于f(x)在[0, +∞)上单调递减，那么在(-∞, 0]上单调递增。\n又因为f(2) = 0，那么在[0, 2]上f(x) > 0，同时在(-∞, 0]上f(x) < 0。\n所以，对于f(x-1) > 0，我们需要找到使得x-1落在[0, 2]的x的取值范围，即1 ≤ x ≤ 3。\n<eoe>\n【答案】1 ≤ x ≤ 3<eoa>",
            "model_correction": "【判分理由】学生的分析过程中，正确理解了偶函数的性质，但是在分析函数在(-∞, 0]上的单调性时出现了错误。学生错误地认为在(-∞, 0]上f(x) < 0，而实际上应该是f(x)在(-∞, 0]上单调递减。此外，学生在确定x的取值范围时没有考虑到偶函数的性质，即没有考虑到当x-1为负数时，f(x-1) = f(1-x)的情况。因此，学生的答案1 ≤ x ≤ 3只考虑了x-1为正数的情况，没有完全解决问题。\n\n【得分】由于学生的答案部分正确，但是没有完全解决问题，可以给予部分分数。考虑到学生理解了偶函数的性质，并且正确地找到了当x-1为正数时的取值范围，可以给予2分。\n\n【总分】2分",
            "model_correction_score": [
                2.0
            ]
        },
        {
            "index": 23,
            "year": "2015",
            "category": "（新课标ⅰ）",
            "score": 5,
            "question": "13. (5 分) 若函数 $f(x)=x \\ln \\left(x+\\sqrt{a+x^{2}}\\right)$ 为偶函数, 则 $a=$\n",
            "standard_answer": "1\n",
            "analysis": "解: $\\because f(x)=x \\ln \\left(x+\\sqrt{a+x^{2}}\\right)$ 为偶函数,\n\n$\\therefore f(-x)=f(x)$,\n\n$\\therefore(-x) \\ln \\left(-x+\\sqrt{a+x^{2}}\\right)=x \\ln \\left(x+\\sqrt{a+x^{2}}\\right)$,\n\n$\\therefore-\\ln \\left(-x+\\sqrt{a+x^{2}}\\right)=\\ln \\left(x+\\sqrt{a+x^{2}}\\right)$,\n\n$\\therefore \\ln \\left(-x+\\sqrt{a+x^{2}}\\right)+\\ln \\left(x+\\sqrt{a+x^{2}}\\right)=0$,\n\n$\\therefore \\ln \\left(\\sqrt{a+x^{2}}+x\\right) \\quad\\left(\\sqrt{a+x^{2}}-x\\right)=0$\n\n$\\therefore \\ln a=0$,\n\n$\\therefore a=1$.\n\n故答案为: 1 .\n",
            "model_output": "【解析】\n偶函数的定义是f(-x)=f(x)，所以我们需要将f(-x)计算出来，然后与f(x)进行比较，找出使两者相等的a值。\n首先，我们计算f(-x)：\nf(-x)=-xln(-x+sqrt{a+(-x)^2})=-xln(-x+sqrt{a+x^2})\n由于f(x)是偶函数，所以我们有f(-x)=f(x)，即：\nxln(x+sqrt{a+x^2})=-xln(-x+sqrt{a+x^2})\n由于xln(x+sqrt{a+x^2})=-xln(-x+sqrt{a+x^2})对于所有的x都成立，所以我们可以将x设为0，得到：\n0=0ln(sqrt{a})\n这个等式对于所有的a都成立，所以我们需要找到一个更具体的x值来确定a的值。我们可以将x设为1，得到：\nln(1+sqrt{a+1})=-ln(-1+sqrt{a+1})\n由于ln(1+sqrt{a+1})=-ln(-1+sqrt{a+1})只有在a=0时成立，所以a=0。\n<eoe>\n【答案】0<eoa>",
            "model_correction": "【判分理由】学生的分析过程在计算 $f(-x)$ 时是正确的，但在后续的推理中出现了错误。学生错误地认为可以通过将 $x$ 设为 $0$ 来简化问题，但这并不是一个有效的步骤，因为这样做并没有利用到偶函数的性质。此外，学生在将 $x$ 设为 $1$ 后得出的结论也是错误的，因为他们错误地认为 $\\ln(1+\\sqrt{a+1})=-\\ln(-1+\\sqrt{a+1})$ 只在 $a=0$ 时成立，这是不正确的。正确的推理应该是利用对数函数的性质，通过将两个对数相加得到 $\\ln a=0$，从而得出 $a=1$。因此，学生的答案是错误的。\n\n【得分】0分\n\n【总分】0分",
            "model_correction_score": [
                0.0
            ]
        },
        {
            "index": 24,
            "year": "2015",
            "category": "（新课标ⅱ）",
            "score": 5,
            "question": "13. (5 分) 设向量 $\\vec{a}, \\vec{b}$ 不平行, 向量 $\\lambda \\vec{a}+\\vec{b}$ 与 $\\vec{a}+2 \\vec{b}$ 平行, 则实数 $\\lambda=$\n",
            "standard_answer": "$\\frac{1}{2}$\n",
            "analysis": "解: $\\because$ 向量 $\\vec{a}, \\vec{b}$ 不平行, 向量 $\\lambda \\vec{a}+\\vec{b}$ 与 $\\vec{a}+2 \\vec{b}$ 平行,\n\n$\\therefore \\lambda \\vec{a}+\\vec{b}=t(\\vec{a}+2 \\vec{b})=t \\vec{a}+2 t \\vec{b}$, $\\therefore\\left\\{\\begin{array}{c}\\lambda=\\mathrm{t} \\\\ 1=2 \\mathrm{t}\\end{array}\\right.$, 解得实数 $\\lambda=\\frac{1}{2}$.\n\n故答案为: $\\frac{1}{2}$.\n",
            "model_output": "【解析】\n向量平行的条件是两向量的比值为常数。由题意，向量 $\\lambda \\vec{a}+\\vec{b}$ 与 $\\vec{a}+2 \\vec{b}$ 平行，所以有：\n$(\\lambda \\vec{a}+\\vec{b})/(\\vec{a}+2 \\vec{b}) = k$，其中$k$为常数。\n这个方程可以分解为两个方程：\n$\\lambda \\vec{a}/\\vec{a} = k$ 和 $\\vec{b}/2\\vec{b} = k$。\n解这两个方程可以得到 $\\lambda$ 的值。\n<eoe>\n【答案】\n$\\lambda = 1/2$\n<eoa>",
            "model_correction": "【判分理由】学生的分析过程虽然没有完全按照标准答案的解题步骤，但是他们的分析思路是正确的，并且最终得到了正确的答案。学生正确地使用了向量平行的条件，即两向量的比值为常数，但是在表达这个条件时使用了不恰当的数学符号，因为向量之间不能直接做除法。然而，学生在最后给出了正确的答案 $\\lambda = 1/2$。\n\n【得分】由于学生的答案是正确的，但是解析过程中有一些小错误，可以给予部分分数。考虑到学生的最终答案是正确的，可以给4分。\n\n【总分】4分",
            "model_correction_score": [
                4.0
            ]
        },
        {
            "index": 25,
            "year": "2015",
            "category": "（新课标ⅱ）",
            "score": 5,
            "question": "15. (5 分) $(a+x)(1+x)^{4}$ 的展开式中 $x$ 的奇数次幂项的系数之和为 32 , 则 $a=$\n",
            "standard_answer": "3\n",
            "analysis": "解：设 $f(x)=(a+x)(1+x)^{4}=a_{0}+a_{1} x+a_{2} x^{2}+\\ldots+a_{5} x^{5}$,\n\n令 $x=1$, 则 $a_{0}+a_{1}+a_{2}+\\ldots+a_{5}=f(1 ）=16(a+1)$, (1)\n\n令 $x=-1$, 则 $a_{0}-a_{1}+a_{2}-\\ldots-a_{5}=f(-1)=0$. (2)\n\n(1)- (2)得, 2 $\\left(a_{1}+a_{3}+a_{5}\\right)=16(a+1)$,\n\n所以 $2 \\times 32=16(a+1)$,\n\n所以 $a=3$.\n\n故答案为: 3 .\n",
            "model_output": "【解析】首先，我们需要将$(a+x)(1+x)^{4}$展开，然后找出$x$的奇数次幂项的系数。$(1+x)^{4}$的展开式为$1+4x+6x^{2}+4x^{3}+x^{4}$，所以$(a+x)(1+x)^{4}$的展开式为$a+ax+4ax+6ax^{2}+4ax^{3}+ax^{4}+x+4x^{2}+6x^{3}+4x^{4}+x^{5}$。然后，我们找出$x$的奇数次幂项的系数，即$1*a+4*a+4*a+1$，这个和等于32，所以我们可以得到一个方程$9a=32$。<eoe>\n【答案】$a=\\frac{32}{9}$<eoa>",
            "model_correction": "【判分理由】学生的分析过程中，首先正确地展开了$(1+x)^{4}$，但在将$(a+x)(1+x)^{4}$展开时犯了错误，没有正确地将$(a+x)$与$(1+x)^{4}$的各项相乘。学生在找出$x$的奇数次幂项的系数时，错误地将$a$与$x$的系数相加，而没有考虑到$x$的奇数次幂项的系数应该是$(a+x)(1+x)^{4}$展开式中$x$的奇数次幂项的系数之和。因此，学生得出的方程$9a=32$是错误的。学生的最终答案$a=\\frac{32}{9}$与标准答案3不符。\n\n【得分】0分，因为学生的分析过程和最终答案均不正确。\n\n【总分】0分",
            "model_correction_score": [
                0.0
            ]
        },
        {
            "index": 26,
            "year": "2015",
            "category": "（新课标ⅱ）",
            "score": 5,
            "question": "16. (5 分) 设数列 $\\left\\{a_{n}\\right\\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$, 且 $a_{1}=-1, a_{n+1}=S_{n+1} S_{n}$, 则 $S_{n}=$\n",
            "standard_answer": "$-\\frac{1}{n}$\n",
            "analysis": "解: $\\because a_{n+1}=S_{n+1} s_{n}$,\n\n$\\therefore \\mathrm{s}_{\\mathrm{n}+1}-\\mathrm{S}_{\\mathrm{n}}=\\mathrm{S}_{\\mathrm{n}+1} \\mathrm{~S}_{\\mathrm{n}}$,\n\n$\\therefore \\frac{1}{S_{n}}-\\frac{1}{S_{n+1}}=1$,\n\n又 $\\because a_{1}=-1$, 即 $\\frac{1}{S_{1}}=-1$,\n\n$\\therefore$ 数列 $\\left\\{\\frac{1}{S_{n}}\\right\\}$ 是以首项是- 1 、公差为- 1 的等差数列,\n\n$\\therefore \\frac{1}{S_{n}}=-\\mathrm{n}$,\n\n$\\therefore S_{n}=-\\frac{1}{n}$,\n\n故答案为: $-\\frac{1}{n}$.\n",
            "model_output": "【解析】\n根据题目，我们知道 $a_{n+1}=S_{n+1} S_{n}$，所以我们可以得到 $S_{n+1}=S_{n}+a_{n+1}=S_{n}+S_{n+1} S_{n}$，整理得到 $S_{n+1}(1-S_{n})=S_{n}$。\n\n我们先考虑 $n=1$ 的情况，我们有 $a_{1}=-1$，所以 $S_{1}=a_{1}=-1$。\n\n然后考虑 $n=2$ 的情况，我们有 $S_{2}(1-S_{1})=S_{1}$，代入 $S_{1}=-1$，我们得到 $S_{2}(1+1)=-1$，解得 $S_{2}=-\\frac{1}{2}$。\n\n然后考虑 $n=3$ 的情况，我们有 $S_{3}(1-S_{2})=S_{2}$，代入 $S_{2}=-\\frac{1}{2}$，我们得到 $S_{3}(1+\\frac{1}{2})=-\\frac{1}{2}$，解得 $S_{3}=-\\frac{1}{3}$。\n\n通过以上的推导，我们可以发现一个规律，即 $S_{n}=-\\frac{1}{n}$。\n\n所以，$S_{n}=-\\frac{1}{n}$。\n<eoe>\n【答案】$S_{n}=-\\frac{1}{n}$<eoa>",
            "model_correction": "【判分理由】学生的分析过程虽然没有直接使用题目中的分析方法，但是通过具体的例子推导出了正确的规律，并且得出了正确的答案。学生的解题过程虽然不是最简洁的，但是逻辑清晰，步骤正确，最终得出了与标准答案一致的结果。\n\n【得分】5分\n\n【总分】5分",
            "model_correction_score": [
                5.0
            ]
        },
        {
            "index": 27,
            "year": "2016",
            "category": "（新课标ⅰ）",
            "score": 5,
            "question": "13. (5 分) 设向量 $\\vec{a}=(m, 1), \\vec{b}=(1,2)$, 且 $|\\vec{a}+\\vec{b}|^{2}=|\\vec{a}|^{2}+|\\vec{b}|^{2}$, 则 $m=$\n",
            "standard_answer": "-2\n",
            "analysis": "解: $|\\vec{a}+\\vec{b}|^{2}=|\\vec{a}|^{2}+|\\vec{b}|^{2}$,\n\n可得 $\\vec{a} \\cdot \\vec{b}=0$.\n\n向量 $\\vec{a}=(m, 1), \\vec{b}=(1,2)$,\n\n可得 $m+2=0$, 解得 $m=-2$.\n\n故答案为: -2 .\n",
            "model_output": "【解析】\n题目已知 $|\\vec{a}+\\vec{b}|^{2}=|\\vec{a}|^{2}+|\\vec{b}|^{2}$，这是向量的平行条件，即向量 $\\vec{a}$ 和向量 $\\vec{b}$ 是平行的。向量平行的条件是两向量的对应分量之比相等，即 $m/1 = 1/2$。\n<eoe>\n【答案】$m=1/2$<eoa>",
            "model_correction": "【判分理由】学生的分析过程错误，他错误地将题目中的条件理解为向量平行的条件，而实际上题目中的条件是向量垂直的条件。因此，学生的答案与标准答案不符。由于学生的分析和答案完全错误，应给0分。\n\n【得分】0分\n\n【总分】0分",
            "model_correction_score": [
                0.0
            ]
        },
        {
            "index": 28,
            "year": "2016",
            "category": "（新课标ⅰ）",
            "score": 5,
            "question": "14. (5 分) $(2 x+\\sqrt{x})^{5}$ 的展开式中, $x^{3}$ 的系数是___. (用数字填写答案)\n",
            "standard_answer": "10\n",
            "analysis": "解: $(2 x+\\sqrt{x})^{5}$ 的展开式中, 通项公式为: $T_{r+1}=\\left[{ }_{5}^{r}(2 x)^{5-r}(\\sqrt{x})^{r}=2^{5-r}\\right.$ $C_{5}^{r} \\cdot x^{5 \\frac{r}{2}}$\n\n令 $5-\\frac{r}{2}=3$, 解得 $r=4$\n\n$\\therefore x^{3}$ 的系数 $2 \\mathrm{C}_{5}^{4}=10$.\n\n故答案为: 10 .\n",
            "model_output": "【解析】这是一个二项式定理的问题。二项式定理是$(a+b)^n=\\sum_{k=0}^{n} C_n^k a^{n-k}b^k$，其中$C_n^k$是组合数，表示从n个不同的元素中取出k个的所有可能的组合数。\n在这个问题中，我们需要找到$(2x+\\sqrt{x})^5$展开式中$x^3$的系数。我们需要找到满足$n-k+k/2=3$的k值，其中n=5，k是我们需要找的指数。解这个方程我们得到k=4。\n所以，我们需要找到的是$C_5^4*(2x)^{5-4}*(\\sqrt{x})^4$的系数，即$C_5^4*2*4=\\frac{5*4*2}{4*1}=10$。<eoe>\n【答案】10<eoa>",
            "model_correction": "【判分理由】学生的分析过程正确地应用了二项式定理，并且正确地解出了满足条件的$k$值。学生在计算组合数$C_5^4$和相应的幂次时没有犯错误，并且得出了正确的$x^3$的系数为10。学生的答案与标准答案一致。\n\n【得分】5分\n\n【总分】5分",
            "model_correction_score": [
                5.0
            ]
        },
        {
            "index": 29,
            "year": "2016",
            "category": "（新课标ⅰ）",
            "score": 5,
            "question": "15. (5 分) 设等比数列 $\\left\\{a_{n}\\right\\}$ 满足 $a_{1}+a_{3}=10, a_{2}+a_{4}=5$, 则 $a_{1} a_{2} \\ldots a_{n}$ 的最大值为\n",
            "standard_answer": "64\n",
            "analysis": "解：等比数列 $\\left\\{a_{n}\\right\\}$ 满足 $a_{1}+a_{3}=10, a_{2}+a_{4}=5$,\n\n可得 $q\\left(a_{1}+a_{3}\\right)=5$, 解得 $q=\\frac{1}{2}$.\n\n$a_{1}+q^{2} a_{1}=10$, 解得 $a_{1}=8$.\n\n则 $a_{1} a_{2} \\ldots a_{n}=a_{1} \\bullet^{n} q^{1+2+3+\\ldots+(n-1)}=8^{n} \\bullet\\left(\\frac{1}{2}\\right)^{\\frac{n(n-1)}{2}}=2^{3 r \\frac{n^{2}-n}{2}}=2^{\\frac{7 r-n^{2}}{2}}$,\n\n当 $n=3$ 或 4 时, 表达式取得最大值: $2^{\\frac{12}{2}}=2^{6}=64$.\n\n故答案为: 64 .\n",
            "model_output": "【解析】\n等比数列的通项公式为$a_n=a_1*q^{n-1}$，其中$a_1$为首项，$q$为公比。\n根据题目给出的条件，我们有$a_1+a_1*q^2=10$和$a_1*q+a_1*q^3=5$。\n将第二个等式除以第一个等式，我们得到$q/(1+q)=1/2$，解这个方程我们得到$q=1$。\n将$q=1$代入第一个等式，我们得到$a_1=5$。\n所以，数列的通项公式为$a_n=5$，无论$n$取何值，$a_n$都等于5，所以$a_1*a_2*...*a_n$的最大值就是当$n$取最大值时的值，即无穷大。<eoe>\n【答案】无穷大<eoa>",
            "model_correction": "【判分理由】学生的分析过程错误地得出了公比 $q=1$，这与题目条件不符。根据题目条件，公比 $q$ 应该是 $\\frac{1}{2}$，而不是 $1$。因此，学生的答案“无穷大”与标准答案“64”不一致。学生没有正确使用题目给出的条件来解题，因此不能给分。\n\n【得分】0分\n\n【总分】0分",
            "model_correction_score": [
                0.0
            ]
        },
        {
            "index": 30,
            "year": "2016",
            "category": "（新课标ⅱ）",
            "score": 5,
            "question": "13. (5 分) $\\triangle A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$, 若 $\\cos A=\\frac{4}{5}, \\cos C=\\frac{5}{13}$ , $a=1$, 则 $b=$\n",
            "standard_answer": "$\\frac{21}{13}$\n",
            "analysis": "解: 由 $\\cos \\mathrm{A}=\\frac{4}{5}, \\cos \\mathrm{C}=\\frac{5}{13}$, 可得\n\n$\\sin \\mathrm{A}=\\sqrt{1-\\cos ^{2} \\mathrm{~A}}=\\sqrt{1-\\frac{16}{25}}=\\frac{3}{5}$,\n\n$\\sin \\mathrm{C}=\\sqrt{1-\\cos ^{2} \\mathrm{C}}=\\sqrt{1-\\frac{25}{169}}=\\frac{12}{13}$,\n\n$\\sin B=\\sin (A+C)=\\sin A \\cos C+\\cos A \\sin C=\\frac{3}{5} \\times \\frac{5}{13}+\\frac{4}{5} \\times \\frac{12}{13}=\\frac{63}{65}$,\n\n由正弦定理可得 $b=\\frac{a \\sin B}{\\sin A}$\n\n$=\\frac{1 \\times \\frac{63}{65}}{\\frac{3}{5}}=\\frac{21}{13}$.\n\n故答案为: $\\frac{21}{13}$.\n",
            "model_output": "【解析】\n根据余弦定理，我们有\n$b^2 = a^2 + c^2 - 2ac\\cos B$\n由于在三角形中，角A、B、C的和为180度，所以有\n$\\cos B = \\cos(180° - A - C) = -\\cos(A + C) = -(\\cos A \\cos C - \\sin A \\sin C)$\n我们已知$\\cos A=\\frac{4}{5}, \\cos C=\\frac{5}{13}$，可以求出$\\sin A$和$\\sin C$的值，因为$\\sin^2 A = 1 - \\cos^2 A$，$\\sin^2 C = 1 - \\cos^2 C$，所以$\\sin A = \\sqrt{1 - \\cos^2 A} = \\sqrt{1 - \\left(\\frac{4}{5}\\right)^2} = \\frac{3}{5}$，$\\sin C = \\sqrt{1 - \\cos^2 C} = \\sqrt{1 - \\left(\\frac{5}{13}\\right)^2} = \\frac{12}{13}$。\n所以，$\\cos B = -(\\cos A \\cos C - \\sin A \\sin C) = -\\left(\\frac{4}{5} \\cdot \\frac{5}{13} - \\frac{3}{5} \\cdot \\frac{12}{13}\\right) = -\\frac{1}{13}$。\n再根据余弦定理，我们有\n$b^2 = a^2 + c^2 - 2ac\\cos B = 1^2 + c^2 - 2 \\cdot 1 \\cdot c \\cdot \\left(-\\frac{1}{13}\\right)$\n解这个方程，我们可以得到b的值。\n<eoe>\n【答案】\n因为我们没有给出c的值，所以我们无法求解b的值。\n<eoa>",
            "model_correction": "【判分理由】学生在解析部分正确地使用了余弦定理和三角恒等变换，但是在计算过程中没有得出具体的b的值。学生正确地指出了没有给出c的值，因此无法求解b的值。然而，学生没有注意到题目中的条件和分析过程中已经给出了使用正弦定理求解b的方法，而不是继续使用余弦定理。学生的答案部分正确地指出了无法求解b的值，但这是因为他们没有使用题目中的正确方法，而不是因为题目条件不足。因此，学生的解析部分虽然方法正确但未能得出答案，答案部分则因方法的误用而未能给出正确答案。\n\n【得分】由于学生的解析部分正确使用了余弦定理和三角恒等变换，可以给予部分分数，但由于未能得出正确答案，分数应当较低。考虑到学生的理解和部分正确的过程，可以给予1分。\n\n【总分】1分",
            "model_correction_score": [
                1.0
            ]
        },
        {
            "index": 31,
            "year": "2016",
            "category": "（新课标ⅱ）",
            "score": 5,
            "question": "14. （5 分） $\\alpha, \\beta$ 是两个平面, $m, n$ 是两条直线, 有下列四个命题:\n\n(1)如果 $m \\perp n, m \\perp \\alpha, n / / \\beta$, 那么 $\\alpha \\perp \\beta$.\n\n(2)如果 $m \\perp \\alpha, n / / \\alpha$, 那么 $m \\perp n$.\n\n(3)如果 $\\alpha / / \\beta, m \\subset \\alpha$, 那么 $m / / \\beta$.\n\n(4)如果 $m / / n, \\alpha / / \\beta$, 那么 $m$ 与 $\\alpha$ 所成的角和 $n$ 与 $\\beta$ 所成的角相等.\n\n其中正确的命题是 (填序号)\n",
            "standard_answer": "(2)(3)\n",
            "analysis": "解: (1)如果 $m \\perp n, m \\perp \\alpha, n / / \\beta$, 不能得出 $\\alpha \\perp \\beta$, 故错误; (2)如果 $n / / \\alpha$, 则存在直线 $I \\subset \\alpha$, 使 $n / / l$, 由 $m \\perp \\alpha$, 可得 $m \\perp l$, 那么 $m \\perp n$. 故 正确;\n\n(3)如果 $\\alpha / / \\beta, m \\subset \\alpha$, 那么 $m$ 与 $\\beta$ 无公共点, 则 $m / / \\beta$. 故正确\n\n(4)如果 $m / / n, \\alpha / / \\beta$, 那么 $m, n$ 与 $\\alpha$ 所成的角和 $m, n$ 与 $\\beta$ 所成的角均相等.\n\n故正确;\n\n故答案为: (2)(3)\n",
            "model_output": "【解析】\n(1)命题错误。直线m垂直于平面α，并不代表平面α垂直于任何与m垂直的直线或平面。例如，我们可以想象一个立方体，其中一面是平面α，一条边是直线m，而另一面是平面β，另一条边是直线n。在这种情况下，m垂直于α和n，n平行于β，但α并不垂直于β。\n\n(2)命题错误。直线m垂直于平面α，并不代表m垂直于平面α内的所有直线。例如，我们可以想象一个立方体，其中一面是平面α，一条边是直线m，而另一条边是直线n。在这种情况下，m垂直于α，n平行于α，但m并不垂直于n。\n\n(3)命题正确。如果一个平面α平行于另一个平面β，那么α中的任何直线m都将平行于β。\n\n(4)命题正确。如果两条直线m和n平行，并且两个平面α和β平行，那么m与α所成的角和n与β所成的角必然相等，因为平行的直线和平面之间的角度是恒定的。\n\n因此，正确的命题是(3)和(4)。<eoe>\n【答案】(3)和(4)<eoa>",
            "model_correction": "【判分理由】学生的答案中，对于命题(1)的分析是正确的，但是对于命题(2)的分析是错误的，因为根据题目分析过程中的解释，命题(2)是正确的。对于命题(3)的分析是正确的，但是对于命题(4)的分析是错误的，因为题目分析过程中指出命题(4)是错误的。学生的最终答案选择了(3)和(4)作为正确命题，这与标准答案(2)(3)不符。因此，学生只正确选择了命题(3)，应该得到部分分。\n\n【得分】2.5分（由于学生正确分析并选择了命题(3)，但错误地分析并选择了命题(4)，因此只能给予一半的分数。）\n\n【总分】2.5分",
            "model_correction_score": [
                2.5
            ]
        },
        {
            "index": 32,
            "year": "2016",
            "category": "（新课标ⅱ）",
            "score": 5,
            "question": "15. (5 分) 有三张卡片, 分别写有 1 和 2,1 和 3,2 和 3. 甲, 乙, 丙三人各 取走一张卡片, 甲看了乙的卡片后说: “我与乙的卡片上相同的数字不是 2 ”, 乙看了丙的卡片后说: “我与丙的卡片上相同的数字不是 1\", 丙说: “我的卡 片上的数字之和不是 $5^{\\prime \\prime}$, 则甲的卡片上的数字是\n",
            "standard_answer": "1 和 3\n",
            "analysis": "解：根据丙的说法知, 丙的卡片上写着 1 和 2 , 或 1 和 3 ;\n\n(1) 若丙的卡片上写着 1 和 2 , 根据乙的说法知, 乙的卡片上写着 2 和 3;\n\n$\\therefore$ 根据甲的说法知, 甲的卡片上写着 1 和 3 ;\n\n(2) 若丙的卡片上写着 1 和 3, 根据乙的说法知, 乙的卡片上写着 2 和 3;\n\n又甲说， “我与乙的卡片上相同的数字不是 2 \";\n\n$\\therefore$ 甲的卡片上写的数字不是 1 和 2 , 这与已知矛盾;\n\n$\\therefore$ 甲的卡片上的数字是 1 和 3 .\n\n故答案为: 1 和 3 .\n",
            "model_output": "【解析】\n首先，我们可以根据题目给出的三张卡片，将它们标记为(1,2)、(1,3)和(2,3)。\n然后，根据甲的话，我们可以知道甲和乙的卡片上相同的数字不是2，那么甲和乙的卡片只能是(1,2)和(1,3)或者是(1,3)和(2,3)，因为这两种情况下，甲和乙的卡片上相同的数字都不是2。\n接着，根据乙的话，我们可以知道乙和丙的卡片上相同的数字不是1，那么乙和丙的卡片只能是(1,2)和(2,3)或者是(2,3)和(1,3)，因为这两种情况下，乙和丙的卡片上相同的数字都不是1。\n最后，根据丙的话，我们可以知道丙的卡片上的数字之和不是5，那么丙的卡片只能是(1,2)或者是(2,3)，因为这两种情况下，丙的卡片上的数字之和都不是5。\n综合以上三个条件，我们可以得出甲的卡片是(1,3)，乙的卡片是(2,3)，丙的卡片是(1,2)。<eoe>\n【答案】(1,3)<eoa>",
            "model_correction": "【判分理由】学生的分析过程正确地分析了甲、乙、丙三人卡片的可能性，并且最终得出了正确的结论，即甲的卡片是(1,3)。学生的答案与标准答案一致，因此应给满分。\n【得分】5分\n【总分】5分",
            "model_correction_score": [
                5.0
            ]
        },
        {
            "index": 33,
            "year": "2016",
            "category": "（新课标ⅱ）",
            "score": 5,
            "question": "16. (5 分) 若直线 $y=k x+b$ 是曲线 $y=\\ln x+2$ 的切线, 也是曲线 $y=\\ln (x+1 ）$ 的切 线, 则 $b=$\n",
            "standard_answer": "$1-\\ln 2$\n",
            "analysis": "解：设 $y=k x+b$ 与 $y=\\ln x+2$ 和 $y=\\ln (x+1)$ 的切点分别为 $\\left(x_{1}, k x_{1}+b\\right)$ 、 $\\left(\\mathrm{x}_{2}, \\mathrm{kx} \\mathrm{x}_{2}+\\mathrm{b}\\right)$;\n\n由导数的几何意义可得 $k=\\frac{1}{x_{1}}=\\frac{1}{x_{2}+1}$, 得 $x_{1}=x_{2}+1$\n\n再由切点也在各自的曲线上, 可得 $\\left\\{\\begin{array}{l}k x_{1}+b=\\ln x_{1}+2 \\\\ k x_{2}+b=\\ln \\left(x_{2}+1\\right)\\end{array}\\right.$\n\n联立上述式子解得 $\\left\\{\\begin{array}{l}k=2 \\\\ x_{1}=\\frac{1}{2} \\\\ x_{2}=-\\frac{1}{2}\\end{array}\\right.$;\n\n故答案为:$1-\\ln 2$.\n",
            "model_output": "【解析】\n首先，我们需要知道直线是曲线的切线，那么在切点处，直线的斜率等于曲线的导数。因此，我们可以通过求曲线的导数来找到直线的斜率。\n\n对于曲线 $y=\\ln x+2$，其导数为 $y' = 1/x$。对于曲线 $y=\\ln (x+1)$，其导数为 $y' = 1/(x+1)$。\n\n由于直线 $y=kx+b$ 是两条曲线的切线，那么在切点处，直线的斜率 $k$ 应该等于两条曲线在切点处的导数。因此，我们有 $k = 1/x = 1/(x+1)$，解这个方程可以得到 $x=1$。\n\n将 $x=1$ 代入两条曲线的方程，可以得到两个切点的 $y$ 坐标，分别为 $y=\\ln 1+2=2$ 和 $y=\\ln 2=0.693$。由于这两个点都在直线 $y=kx+b$ 上，所以我们可以得到两个方程 $2=k+b$ 和 $0.693=k+b$。\n\n解这两个方程，可以得到 $b=2-k=0.693-k$，解这个方程可以得到 $b=1.307$。\n\n<eoe>\n【答案】1.307<eoa>",
            "model_correction": "【判分理由】学生的分析过程中，求导数的部分是正确的，但是在解方程时出现了错误。学生错误地得出 $x=1$，实际上应该是 $x_1=x_2+1$。此外，学生在求解 $b$ 的值时也出现了错误，没有正确地使用切点坐标来求解 $b$。因此，学生的答案与标准答案不符。\n\n由于学生的解题过程中，导数的求解是正确的，但是在解方程和求解 $b$ 的值时出现了错误，可以给予部分分数。\n\n【得分】2分（正确求出导数，但解方程和求解 $b$ 的值时出现错误）\n\n【总分】2分",
            "model_correction_score": [
                2.0
            ]
        },
        {
            "index": 34,
            "year": "2016",
            "category": "（新课标ⅲ）",
            "score": 5,
            "question": "14. (5 分) 函数 $y=\\sin x-\\sqrt{3} \\cos x$ 的图象可由函数 $y=\\sin x+\\sqrt{3} \\cos x$ 的图象至少 向右平移 个单位长度得到.\n",
            "standard_answer": "$\\frac{2 \\pi}{3}$.\n",
            "analysis": "解: $\\because y=f(x)=\\sin x+\\sqrt{3} \\cos x=2 \\sin \\left(x+\\frac{\\pi}{3}\\right), y=\\sin x-\\sqrt{3} \\cos x=2 \\sin$ $\\left(x-\\frac{\\pi}{3}\\right)$, $\\therefore f(x-\\phi)=2 \\sin \\left(x+\\frac{\\pi}{3}-\\phi\\right) \\quad(\\phi>0)$\n\n今 $2 \\sin \\left(x+\\frac{\\pi}{3}-\\phi\\right)=2 \\sin \\left(x-\\frac{\\pi}{3}\\right)$ ，\n\n则 $\\frac{\\pi}{3}-\\phi=2 k \\pi-\\frac{\\pi}{3} \\quad(k \\in Z)$ ，\n\n即 $\\phi=\\frac{2 \\pi}{3}-2 k \\pi \\quad(k \\in Z)$ ，\n\n当 $\\mathrm{k}=0$ 时，正数 $\\phi_{\\min }=\\frac{2 \\pi}{3}$ ，\n\n故答案为: $\\frac{2 \\pi}{3}$.\n",
            "model_output": "【解析】\n我们知道，函数 $y=\\sin x+\\sqrt{3} \\cos x$ 可以转化为 $y=2\\sin(x+\\frac{\\pi}{3})$，同样，函数 $y=\\sin x-\\sqrt{3} \\cos x$ 可以转化为 $y=2\\sin(x-\\frac{\\pi}{3})$。因此，函数 $y=\\sin x-\\sqrt{3} \\cos x$ 的图象可以由函数 $y=\\sin x+\\sqrt{3} \\cos x$ 的图象向右平移 $\\frac{2\\pi}{3}$ 个单位长度得到。<eoe>\n【答案】$\\frac{2\\pi}{3}$<eoa>",
            "model_correction": "【判分理由】学生的分析过程正确地将给定的函数转化为正弦函数的形式，并且正确地找到了两个函数图像之间的平移关系。学生给出的答案与标准答案一致。\n【得分】5分\n【总分】5分",
            "model_correction_score": [
                5.0
            ]
        },
        {
            "index": 35,
            "year": "2016",
            "category": "（新课标ⅲ）",
            "score": 5,
            "question": "15. (5 分) 已知 $f(x)$ 为偶函数, 当 $x<0$ 时, $f(x)=\\ln (-x)+3 x$, 则曲线 $y=f(x)$ 在点 $(1,-3)$ 处的切线方程是\n",
            "standard_answer": "$2 x+y+1=0$.\n",
            "analysis": "解: $f(x)$ 为偶函数, 可得 $f(-x)=f(x)$,\n\n当 $x<0$ 时, $f(x)=\\ln (-x)+3 x$, 即有\n\n$x>0$ 时, $f(x)=\\ln x-3 x, f^{\\prime}(x)=\\frac{1}{x}-3$,\n\n可得 $f(1)=\\ln 1-3=-3, f^{\\prime} \\quad(1)=1-3=-2$,\n\n则曲线 $y=f(x)$ 在点 $(1,-3)$ 处的切线方程为 $y-(-3)=-2(x-1)$,\n\n即为 $2 x+y+1=0$.\n\n故答案为: $2 x+y+1=0$.\n",
            "model_output": "【解析】\n偶函数的性质是f(-x)=f(x)，所以当x>0时，f(x)=f(-x)=lnx-3x。\n因为题目要求在点(1,-3)处的切线方程，所以我们需要找到f(x)在x=1处的导数。\nf'(x)=1/x-3，所以f'(1)=1/1-3=-2。\n根据切线的一般方程y-y1=f'(x1)(x-x1)，我们可以得到切线方程为y+3=-2*(x-1)。\n化简得到y=-2x+5。\n<eoe>\n【答案】y=-2x+5<eoa>",
            "model_correction": "【判分理由】学生在分析过程中正确地使用了偶函数的性质，正确地求出了函数在 $x=1$ 处的导数 $f'(1)=-2$。但是在写出切线方程时犯了错误，没有正确地将点 $(1,-3)$ 代入切线方程中，而是错误地使用了点 $(1,5)$。因此，学生的最终答案 $y=-2x+5$ 与标准答案 $2x+y+1=0$ 不符。\n\n【得分】由于学生正确地求出了导数，但是在写出切线方程时犯了错误，可以给予部分分数。导数的计算和切线方程的理解是这个问题的两个主要部分，导数计算正确可以给予2分，切线方程错误，不能给予剩余的分数。因此，学生的得分应为2分。\n\n【总分】2分",
            "model_correction_score": [
                2.0
            ]
        },
        {
            "index": 36,
            "year": "2016",
            "category": "（新课标ⅲ）",
            "score": 5,
            "question": "16. (5 分) 已知直线 I: $m x+y+3 m-\\sqrt{3}=0$ 与圆 $x^{2}+y^{2}=12$ 交于 $A, B$ 两点, 过 $A$, $B$ 分别作 $\\mid$ 的垂线与 $x$ 轴交于 $C, D$ 两点, 若 $|A B|=2 \\sqrt{3}$, 则 $|C D|=$\n",
            "standard_answer": "4 .\n",
            "analysis": "解: 由题意, $|A B|=2 \\sqrt{3}, \\therefore$ 圆心到直线的距离 $\\mathrm{d}=3$,\n\n$\\therefore \\frac{|3 m-\\sqrt{3}|}{\\sqrt{m^{2}+1}}=3$,\n\n$\\therefore \\mathrm{m}=-\\frac{\\sqrt{3}}{3}$\n\n$\\therefore$ 直线 I 的倾斜角为 $30^{\\circ}$,\n\n$\\because$ 过 $A, B$ 分别作 $I$ 的垂线与 $x$ 轴交于 $C, D$ 两点,\n\n$\\therefore|\\mathrm{CD}|=\\frac{2 \\sqrt{3}}{\\frac{\\sqrt{3}}{2}}=4$.\n\n故答案为: 4 .\n",
            "model_output": "【解析】\n首先，我们知道圆的半径为$\\sqrt{12}=2\\sqrt{3}$，由于$|AB|=2\\sqrt{3}$，所以$AB$是圆的直径，$A$和$B$是圆上的两个点，且$AB$的中点是圆心$O(0,0)$。\n\n其次，由于$C$和$D$分别是过$A$和$B$的垂线与$x$轴的交点，所以$OC$和$OD$分别是$OA$和$OB$的投影，由于$OA=OB=\\sqrt{12}$，所以$OC=OD=\\sqrt{12}$。\n\n最后，由于$OCD$是等腰直角三角形，所以$|CD|=2\\sqrt{12}=4\\sqrt{3}$。<eoe>\n\n【答案】4\\sqrt{3}<eoa>",
            "model_correction": "【判分理由】学生的分析过程中存在错误。学生错误地认为$AB$是圆的直径，这是不正确的，因为题目中并没有说明$AB$是直径，只是说$AB$的长度是$2\\sqrt{3}$。学生还错误地认为$OC$和$OD$的长度是$\\sqrt{12}$，这也是不正确的，因为$OC$和$OD$是$AC$和$BD$在$x$轴上的投影，而不是$OA$和$OB$。学生的最终答案$4\\sqrt{3}$与标准答案4不符。因此，学生的答案是错误的。\n\n【得分】0分\n\n【总分】0分",
            "model_correction_score": [
                0.0
            ]
        },
        {
            "index": 37,
            "year": "2017",
            "category": "（新课标ⅰ）",
            "score": 5,
            "question": "15. (5 分) 已知双曲线 $C: \\frac{x^{2}}{a^{2}}-\\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ 的右顶点为 $A$, 以 $A$ 为 圆心, $b$ 为半径作圆 $A$, 圆 $A$ 与双曲线 $C$ 的一条渐近线交于 $M 、 N$ 两点. 若 $\\angle$ $M A N=60^{\\circ}$, 则 $C$ 的离心率为\n",
            "standard_answer": "$\\frac{2 \\sqrt{3}}{3}$\n",
            "analysis": "解: 双曲线 C: $\\frac{x^{2}}{a^{2}}-\\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ 的右顶点为 A $(a, 0)$,\n\n以 $A$ 为圆心, $b$ 为半径做圆 $A$, 圆 $A$ 与双曲线 $C$ 的一条渐近线交于 $M 、 N$ 两点. 若 $\\angle M A N=60^{\\circ}$, 可得 $A$ 到渐近线 $b x+a y=0$ 的距离为: $b \\cos 30^{\\circ}=\\frac{\\sqrt{3}}{2} b$,\n\n可得: $\\frac{|\\mathrm{ab}|}{\\sqrt{\\mathrm{a}^{2}+\\mathrm{b}^{2}}}=\\frac{\\sqrt{3}}{2} \\mathrm{~b}$, 即 $\\frac{\\mathrm{a}}{\\mathrm{c}}=\\frac{\\sqrt{3}}{2}$, 可得离心率为: $\\mathrm{e}=\\frac{2 \\sqrt{3}}{3}$.\n\n故答案为: $\\frac{2 \\sqrt{3}}{3}$.\n",
            "model_output": "【解析】\n双曲线的一条渐近线为 $y=\\frac{b}{a}x$。由于 $M、N$ 两点在圆 $A$ 上，所以 $M、N$ 两点到 $A$ 的距离都为 $b$。由于 $\\angle MAN=60^{\\circ}$，根据等腰三角形的性质，我们知道 $\\angle MNA=60^{\\circ}$，所以 $\\triangle MAN$ 是等边三角形，即 $MA=AN=NM=b$。\n\n又因为 $M、N$ 两点在双曲线的渐近线上，所以 $M、N$ 两点的坐标满足 $y=\\frac{b}{a}x$。由于 $M、N$ 两点到 $A$ 的距离都为 $b$，所以 $M、N$ 两点的坐标为 $(a\\pm\\frac{b\\sqrt{3}}{2}, \\frac{b^2\\sqrt{3}}{2a})$。\n\n由于 $M、N$ 两点在双曲线上，所以 $M、N$ 两点的坐标满足 $\\frac{x^{2}}{a^{2}}-\\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$。将 $M、N$ 两点的坐标代入双曲线的方程，我们可以得到 $\\frac{(a\\pm\\frac{b\\sqrt{3}}{2})^{2}}{a^{2}}-\\frac{(\\frac{b^2\\sqrt{3}}{2a})^{2}}{b^{2}}=1$。解这个方程，我们可以得到 $a^{2}=b^{2}$。\n\n双曲线的离心率 $e=\\sqrt{1+\\frac{b^{2}}{a^{2}}}$，将 $a^{2}=b^{2}$ 代入，我们可以得到 $e=\\sqrt{2}$。\n<eoe>\n【答案】$\\sqrt{2}$<eoa>",
            "model_correction": "【判分理由】学生的答案与标准答案不符。学生在分析过程中犯了错误，错误地得出了 $a^{2}=b^{2}$，这导致了错误的离心率计算结果 $e=\\sqrt{2}$。学生的答案没有正确使用题目中的条件，即 $\\angle MAN=60^{\\circ}$，以及正确地求解双曲线与圆的交点。因此，学生的答案是错误的。\n\n【得分】0分\n\n【总分】0分",
            "model_correction_score": [
                0.0
            ]
        },
        {
            "index": 38,
            "year": "2017",
            "category": "（新课标ⅱ）",
            "score": 5,
            "question": "13. (5 分) 一批产品的二等品率为 0.02 , 从这批产品中每次随机取一件, 有放 回地抽取 100 次. $X$ 表示抽到的二等品件数, 则 $D X=$\n",
            "standard_answer": "1.96\n",
            "analysis": "解: 由题意可知, 该事件满足独立重复试验, 是一个二项分布模型, 其中, $p=0.02, n=100$,\n\n则 $D X=n p q=n p(1-p)=100 \\times 0.02 \\times 0.98=1.96$.\n\n故答案为: 1.96 .\n",
            "model_output": "【解析】这是一个二项分布的题目，二项分布的方差公式为：D(X)=npq，其中n为试验次数，p为成功概率，q为失败概率。在这个问题中，n=100，p=0.02，q=1-p=0.98。将这些值代入公式，我们可以计算出X的方差。<eoe>\n【答案】1.96<eoa>",
            "model_correction": "【判分理由】学生的分析过程正确地识别了这是一个二项分布问题，并且正确地使用了方差的公式 D(X)=npq。学生也正确地计算了 n、p 和 q 的值，并且正确地进行了计算，得出了正确的答案 1.96。\n\n【得分】5分\n\n【总分】5分",
            "model_correction_score": [
                5.0
            ]
        },
        {
            "index": 39,
            "year": "2017",
            "category": "（新课标ⅱ）",
            "score": 5,
            "question": "14. （5 分）函数 $f(x)=\\sin ^{2} x+\\sqrt{3} \\cos x-\\frac{3}{4}\\left(x \\in\\left[0, \\frac{\\pi}{2}\\right]\\right)$ 的最大值是\n",
            "standard_answer": "1\n",
            "analysis": "解: $f(x)=\\sin ^{2} x+\\sqrt{3} \\cos x-\\frac{3}{4}=1-\\cos ^{2} x+\\sqrt{3} \\cos x-\\frac{3}{4}$,\n\n令 $\\cos x=t$ 且 $t \\in[0,1]$,\n\n则 $y=-t^{2}+\\sqrt{3} t+\\frac{1}{4}=-\\quad\\left(t-\\frac{\\sqrt{3}}{2}\\right)^{2+1}$,\n\n当 $t=\\frac{\\sqrt{3}}{2}$ 时, $f(t)_{\\text {max }}=1$,\n\n即 $f(x)$ 的最大值为 1 , 故答案为: 1\n",
            "model_output": "【解析】\n首先，我们知道函数$f(x)$在区间$[0, \\frac{\\pi}{2}]$上是连续的，因此它在这个区间上一定能取得最大值和最小值。\n我们先求函数$f(x)$的导数，即$f'(x) = 2\\sin x \\cos x - \\sqrt{3}\\sin x$，化简得$f'(x) = \\sin x(2\\cos x - \\sqrt{3})$。\n令$f'(x) = 0$，我们可以得到$\\sin x = 0$或$2\\cos x - \\sqrt{3} = 0$。\n解得$x = 0$或$x = \\frac{\\pi}{3}$。\n因此，我们需要分别将$x = 0$，$x = \\frac{\\pi}{3}$和$x = \\frac{\\pi}{2}$代入$f(x)$中，然后比较这三个值的大小。\n当$x = 0$时，$f(x) = 0$；\n当$x = \\frac{\\pi}{3}$时，$f(x) = \\frac{3}{4} + \\frac{\\sqrt{3}}{2} - \\frac{3}{4} = \\frac{\\sqrt{3}}{2}$；\n当$x = \\frac{\\pi}{2}$时，$f(x) = 1$。\n比较这三个值，我们可以得到$f(x)$的最大值为1。<eoe>\n【答案】1<eoa>",
            "model_correction": "【判分理由】学生的分析过程正确，求导后正确找到了导数为0的点，并且正确地比较了这些点和端点处的函数值，得出了正确的最大值。学生的答案与标准答案一致。\n【得分】5分\n【总分】5分",
            "model_correction_score": [
                5.0
            ]
        },
        {
            "index": 40,
            "year": "2017",
            "category": "（新课标ⅱ）",
            "score": 5,
            "question": "15. (5 分) 等差数列 $\\left\\{a_{n}\\right\\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}, a_{3}=3, S_{4}=10$, 则 $\\sum_{k=1}^{n} \\frac{1}{S_{k}}=$\n",
            "standard_answer": "$\\frac{2 \\mathrm{n}}{\\mathrm{n}+1}$\n",
            "analysis": "解: 等差数列 $\\left\\{a_{n}\\right\\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}, a_{3}=3, S_{4}=10, S_{4}=2\\left(a_{2}+a_{3}\\right)=10$, 可得 $a_{2}=2$, 数列的首项为 1 , 公差为 1 ,\n\n$\\mathrm{S}_{\\mathrm{n}}=\\frac{\\mathrm{n}(\\mathrm{n}+1)}{2}, \\frac{1}{S_{\\mathrm{n}}}=\\frac{2}{\\mathrm{n}(\\mathrm{n}+1)}=2\\left(\\frac{1}{\\mathrm{n}}-\\frac{1}{\\mathrm{n}+1}\\right)$,\n\n则 $\\sum_{k=1}^{n} \\frac{1}{S_{k}}=2\\left[1-\\frac{1}{2}+\\frac{1}{2}-\\frac{1}{3}+\\frac{1}{3}-\\frac{1}{4}+\\ldots+\\frac{1}{n}-\\frac{1}{n+1}\\right]=2\\left(1-\\frac{1}{n+1}\\right)=\\frac{2 n}{n+1}$.\n\n故答案为: $\\frac{2 \\mathrm{n}}{\\mathrm{n}+1}$.\n",
            "model_output": "【解析】\n首先，我们知道等差数列的前n项和的公式为$S_n=\\frac{n}{2}[2a_1+(n-1)d]$，其中$a_1$是首项，$d$是公差。\n题目中给出了$a_3=3$和$S_4=10$，我们可以通过这两个条件求出$a_1$和$d$。\n\n首先，我们知道$a_3=a_1+2d=3$。\n然后，我们将$a_1$和$d$代入$S_4=\\frac{4}{2}[2a_1+(4-1)d]=10$，得到$2a_1+3d=5$。\n\n解这个二元一次方程组，我们可以得到$a_1=1$，$d=1$。\n\n然后，我们可以求出$S_k=\\frac{k}{2}[2*1+(k-1)*1]=\\frac{k}{2}(k+1)$。\n\n所以，$\\sum_{k=1}^{n} \\frac{1}{S_{k}}=\\sum_{k=1}^{n} \\frac{2}{k(k+1)}=\\sum_{k=1}^{n} (\\frac{2}{k}-\\frac{2}{k+1})$。\n\n这是一个等差数列的求和公式，我们可以看到，除了第一项和最后一项，其他的项都会被消掉，所以最后的结果是$2(1-\\frac{2}{n+1})$。\n<eoe>\n【答案】$2(1-\\frac{2}{n+1})$<eoa>",
            "model_correction": "【判分理由】\n学生的分析过程正确地求出了等差数列的首项$a_1=1$和公差$d=1$，并正确地得出了前$n$项和$S_k=\\frac{k}{2}(k+1)$。在求和过程中，学生正确地将$\\frac{1}{S_{k}}$转化为$\\frac{2}{k(k+1)}$，并正确地应用了部分分式的方法将其转化为$\\frac{2}{k}-\\frac{2}{k+1}$。然而，在最后的计算中，学生犯了一个错误，将$\\frac{2}{n+1}$错误地写成了$\\frac{2}{n+1}$，而正确的应该是$\\frac{1}{n+1}$。因此，学生的最终答案$2(1-\\frac{2}{n+1})$是错误的。\n\n【得分】\n由于学生的分析过程基本正确，但最终答案错误，可以给予部分分。考虑到学生正确地进行了大部分计算，但在最后一步犯了错误，可以给予3分。\n\n【总分】3分",
            "model_correction_score": [
                3.0
            ]
        },
        {
            "index": 41,
            "year": "2017",
            "category": "（新课标ⅱ）",
            "score": 5,
            "question": "16. (5 分) 已知 $F$ 是抛物线 $C: y^{2}=8 x$ 的焦点, $M$ 是 $C$ 上一点, $F M$ 的延长线交 $y$ 轴于点 $N$. 若 $M$ 为 $F N$ 的中点, 则 $|F N|=$\n",
            "standard_answer": "6\n",
            "analysis": "解: 抛物线 $C: y^{2}=8 x$ 的焦点 $F(2,0), M$ 是 $C$ 上一点, $F M$ 的延长线\n\n交 $y$ 轴于点 $N$. 若 $M$ 为 $F N$ 的中点,\n\n可知 $M$ 的横坐标为: 1 , 则 $M$ 的纵坐标为: $\\pm 2 \\sqrt{2}$,\n\n$|\\mathrm{FN}|=2|\\mathrm{FM}|=2 \\sqrt{(1-2)^{2}+( \\pm 2 \\sqrt{2}-0)^{2}}=6$. 故答案为: 6 .\n",
            "model_output": "【解析】\n首先，根据抛物线的性质，我们知道焦点到直线y=0的距离是a，即4a=8，所以a=2，焦点F的坐标是(2,0)。\n然后，因为M是FN的中点，所以M的坐标是((0+2)/2,(0+y)/2)=(1,y/2)。\n将M的坐标代入抛物线的方程，得到(y/2)^2=8*1，解得y=±4。\n因此，N的坐标是(0,±4)，所以|FN|=√[(2-0)^2+(0-(-4))^2]=√[4+16]=√20=2√5.<eoe>\n【答案】2√5<eoa>",
            "model_correction": "【判分理由】学生的分析过程正确地找到了焦点F的坐标(2,0)，并且正确地推导出M是FN的中点，从而得出M的横坐标为1。然而，在将M的坐标代入抛物线方程时，学生计算出了y=±4，这是正确的。但是在计算|FN|时，学生错误地将N的坐标认为是(0,±4)，而实际上N的坐标应该是(0,±2√2)，因为M是FN的中点，所以N的纵坐标应该是M的纵坐标的两倍。因此，学生在计算|FN|时犯了错误，导致最终答案错误。\n\n【得分】学生的答案最终错误，但是过程中有部分正确的分析，可以给予部分分。考虑到学生正确地找到了焦点F的坐标，正确地推导出M的横坐标，以及正确地使用了抛物线方程，可以给予2分的过程分。\n\n【总分】2分",
            "model_correction_score": [
                2.0
            ]
        },
        {
            "index": 42,
            "year": "2017",
            "category": "（新课标ⅲ）",
            "score": 5,
            "question": "14. (5 分) 设等比数列 $\\left\\{a_{n}\\right\\}$ 满足 $a_{1}+a_{2}=-1, a_{1}-a_{3}=-3$, 则 $a_{4}=$\n",
            "standard_answer": "-8 .\n",
            "analysis": "解：设等比数列 $\\left\\{a_{n}\\right\\}$ 的公比为 $\\mathrm{q}, \\because a_{1}+a_{2}=-1, a_{1}-a_{3}=-3$,\n\n$\\therefore a_{1}(1+q)=-1, a_{1}\\left(1-q^{2}\\right)=-3$\n\n解得 $a_{1}=1, q=-2$.\n\n则 $a_{4}=(-2)^{3}=-8$.\n\n故答案为: -8 .\n",
            "model_output": "【解析】\n首先，等比数列的性质是相邻两项的比值相等，即$a_{n+1}/a_{n}=r$，其中$r$为公比。由题目给出的两个条件，我们可以得到两个等式：\n1) $a_{1}+a_{2}=-1$，即$a_{1}+ra_{1}=-1$；\n2) $a_{1}-a_{3}=-3$，即$a_{1}-r^2a_{1}=-3$。\n\n我们可以将这两个等式联立求解，得到$r$和$a_{1}$的值。然后，利用等比数列的定义，我们可以求出$a_{4}=r^3a_{1}$的值。\n\n首先解第一个等式得到 $a_{1}=\\frac{-1}{1+r}$，将$a_{1}$代入第二个等式得到 $\\frac{-1}{1+r}-\\frac{-3}{(1+r)^2}=0$，解这个二次方程得到 $r=-2,1$。\n\n由于等比数列的公比不能为1，所以我们取$r=-2$，代入第一个等式得到 $a_{1}=\\frac{1}{3}$。\n\n最后，代入$a_{4}=r^3a_{1}$，得到$a_{4}=(-2)^3*\\frac{1}{3}=-\\frac{8}{3}$。<eoe>\n【答案】$-\\frac{8}{3}$<eoa>",
            "model_correction": "【判分理由】\n学生在解题过程中正确地使用了等比数列的性质来建立方程组，但在解方程组时犯了错误。学生错误地解出了$a_{1}=\\frac{-1}{1+r}$，这个表达式是不正确的，因为它没有考虑到$a_{1}$和$r$的关系。接着，学生错误地解出了$r=-2,1$，并错误地排除了$r=1$的情况，实际上$r=1$是不可能的，因为这样的话数列就不是等比数列。最后，学生错误地计算出了$a_{4}=-\\frac{8}{3}$，而不是正确答案$a_{4}=-8$。\n\n【得分】\n由于学生的解题过程中存在多处错误，并且最终答案错误，因此不能给分。\n\n【总分】0分",
            "model_correction_score": [
                0.0
            ]
        },
        {
            "index": 43,
            "year": "2017",
            "category": "（新课标ⅲ）",
            "score": 5,
            "question": "15. (5 分) 设函数 $f(x)=\\left\\{\\begin{array}{ll}x+1, & x \\leqslant 0 \\\\ 2^{x}, & x>0\\end{array}\\right.$, 则满足 $f(x)+f\\left(x-\\frac{1}{2}\\right)>1$ 的 $x$ 的 取值范围是\n",
            "standard_answer": "$\\left(-\\frac{1}{4},+\\infty\\right)$.\n",
            "analysis": "解：若 $x \\leqslant 0$, 则 $x-\\frac{1}{2} \\leqslant-\\frac{1}{2}$,\n\n则 $f(x)+f\\left(x-\\frac{1}{2}\\right)>1$ 等价为 $x+1+x-\\frac{1}{2}+1>1$, 即 $2 x>-\\frac{1}{2}$, 则 $x>-\\frac{1}{4}$, 此时 $-\\frac{1}{4}<x \\leqslant 0$,\n\n当 $x>0$ 时, $f(x)=2^{x}>1, x-\\frac{1}{2}>-\\frac{1}{2}$,\n\n当 $x-\\frac{1}{2}>0$ 即 $x>\\frac{1}{2}$ 时, 满足 $f(x)+f\\left(x-\\frac{1}{2}\\right)>1$ 恒成立,\n\n当 $0 \\geqslant x-\\frac{1}{2}>-\\frac{1}{2}$, 即 $\\frac{1}{2} \\geqslant x>0$ 时, $f\\left(x-\\frac{1}{2}\\right)=x-\\frac{1}{2}+1=x+\\frac{1}{2}>\\frac{1}{2}$,\n\n此时 $f(x)+f\\left(x-\\frac{1}{2}\\right)>1$ 恒成立,\n\n综上 $x>-\\frac{1}{4}$,\n\n故答案为: $\\left(-\\frac{1}{4},+\\infty\\right)$.\n",
            "model_output": "【解析】\n首先，我们需要分析函数的定义域，这个函数在$x\\leq0$和$x>0$的时候定义不同，所以我们需要分别讨论。\n\n1. 当$x\\leq0$时，$f(x)=x+1$，$f\\left(x-\\frac{1}{2}\\right)=x+\\frac{1}{2}+1$，所以$f(x)+f\\left(x-\\frac{1}{2}\\right)=2x+\\frac{3}{2}$，解不等式$2x+\\frac{3}{2}>1$，得到$x>\\frac{-1}{4}$，但是我们需要注意到$x\\leq0$，所以在这个区间内，满足不等式的$x$的取值范围是$-\\frac{1}{4}\\leq x\\leq0$。\n\n2. 当$x>0$时，$f(x)=2^{x}$，$f\\left(x-\\frac{1}{2}\\right)=2^{x-\\frac{1}{2}}$，所以$f(x)+f\\left(x-\\frac{1}{2}\\right)=2^{x}+2^{x-\\frac{1}{2}}$，解不等式$2^{x}+2^{x-\\frac{1}{2}}>1$，得到$x>\\frac{1}{2}$，但是我们需要注意到$x>0$，所以在这个区间内，满足不等式的$x$的取值范围是$\\frac{1}{2}<x$。\n\n综上，满足$f(x)+f\\left(x-\\frac{1}{2}\\right)>1$的$x$的取值范围是$-\\frac{1}{4}\\leq x\\leq0$和$\\frac{1}{2}<x$。\n<eoe>\n【答案】$-\\frac{1}{4}\\leq x\\leq0$和$\\frac{1}{2}<x$<eoa>",
            "model_correction": "【判分理由】学生的答案在第一部分的分析是正确的，但是在第二部分的分析中出现了错误。学生得出的结论是当$x>0$时，满足不等式的$x$的取值范围是$\\frac{1}{2}<x$，这忽略了$x$在$(0, \\frac{1}{2}]$区间内也满足不等式$f(x)+f\\left(x-\\frac{1}{2}\\right)>1$。因此，学生的答案没有包含$x$在$(0, \\frac{1}{2}]$区间内的所有解。根据标准答案，正确的取值范围应该是$\\left(-\\frac{1}{4},+\\infty\\right)$。学生答案中的$-\\frac{1}{4}\\leq x\\leq0$是正确的，但是$\\frac{1}{2}<x$只是正确答案的一部分，缺失了$(0, \\frac{1}{2}]$这一部分。\n\n【得分】由于学生答案部分正确，但又有重要的遗漏，可以给予部分分数。考虑到学生正确处理了$x\\leq0$的情况，但是在$x>0$的情况下犯了错误，可以给予一半的分数，即2.5分。\n\n【总分】2.5分",
            "model_correction_score": [
                2.5
            ]
        },
        {
            "index": 44,
            "year": "2018",
            "category": "（新课标ⅰ）",
            "score": 5,
            "question": "14. (5 分) 记 $S_{n}$ 为数列 $\\left\\{a_{n}\\right\\}$ 的前 $n$ 项和. 若 $S_{n}=2 a_{n}+1$, 则 $S_{6}=$\n",
            "standard_answer": "-63\n",
            "analysis": "解: $S_{n}$ 为数列 $\\left\\{a_{n}\\right\\}$ 的前 $n$ 项和, $S_{n}=2 a_{n}+1$, (1)\n\n当 $n=1$ 时, $a_{1}=2 a_{1}+1$, 解得 $a_{1}=-1$,\n\n当 $n \\geqslant 2$ 时, $S_{n-1}=2 a_{n-1}+1$, (2),\n\n由(1)- (2)可得 $a_{n}=2 a_{n}-2 a_{n-1}$,\n\n$\\therefore a_{n}=2 a_{n-1}$,\n\n$\\therefore\\left\\{a_{n}\\right\\}$ 是以 -1 为首项, 以 2 为公比的等比数列,\n\n$\\therefore S_{6}=\\frac{-1 \\times\\left(1-2^{6}\\right)}{1-2}=-63$,\n\n故答案为: -63\n",
            "model_output": "【解析】\n题目中给出了$S_{n}=2 a_{n}+1$，这是一个关于数列前n项和$S_{n}$和第n项$a_{n}$的关系式。我们需要求的是$S_{6}$，也就是前6项的和。根据关系式，我们可以直接将n=6代入，得到$S_{6}=2 a_{6}+1$。但是题目并没有给出$a_{6}$的值，所以我们无法直接计算出$S_{6}$的值。因此，题目缺少必要的信息，无法得出答案。<eoe>\n【答案】题目信息不足，无法得出答案。<eoa>",
            "model_correction": "【判分理由】学生没有正确理解题目条件，未能利用给定的关系式 $S_{n}=2 a_{n}+1$ 推导出数列 $\\{a_{n}\\}$ 的通项公式，并且错误地认为题目信息不足，无法得出答案。学生的答案与标准答案不符，没有得出正确的结果。因此，学生的答案是错误的。\n\n【得分】0分\n\n【总分】0分",
            "model_correction_score": [
                0.0
            ]
        },
        {
            "index": 45,
            "year": "2018",
            "category": "（新课标ⅰ）",
            "score": 5,
            "question": "15. （5 分）从 2 位女生, 4 位男生中选 3 人参加科技比赛, 且至少有 1 位女生 入选，则不同的选法共有 种. (用数字填写答案)\n",
            "standard_answer": "16\n",
            "analysis": "解：方法一：直接法, 1 女 2 男, 有 $\\mathrm{C}_{2}{ }^{1} \\mathrm{C}_{4}{ }^{2}=12,2$ 女 1 男, 有 $\\mathrm{C}_{2}{ }^{2} \\mathrm{C}_{4}{ }^{1}=4$ 根据分类计数原理可得, 共有 $12+4=16$ 种,\n\n方法二, 间接法: $\\mathrm{C}_{6}{ }^{3}-\\mathrm{C}_{4}{ }^{3}=20-4=16$ 种,\n\n故答案为: 16\n",
            "model_output": "【解析】这是一个组合的问题。首先，我们有2位女生和4位男生，总共6人。我们需要从这6人中选出3人。这可以用组合公式C(n, k)来计算，其中n是总的人数，k是需要选出的人数。所以，总的选法有C(6, 3)种。\n\n但是，题目要求至少有1位女生入选，所以我们需要排除所有男生都被选中的情况。所有男生都被选中的情况有C(4, 3)种。\n\n所以，满足题目要求的选法应该是C(6, 3) - C(4, 3)。<eoe>\n\n【答案】17<eoa>",
            "model_correction": "【判分理由】学生的分析过程正确地识别了这是一个组合问题，并且正确地计算了总的选法C(6, 3)和需要排除的情况C(4, 3)。然而，在最后的计算中，学生给出了错误的答案17，而不是正确的答案16。由于学生的分析过程是正确的，但最终答案错误，可以给予部分分数。\n\n【得分】2分\n\n【总分】2分",
            "model_correction_score": [
                2.0
            ]
        },
        {
            "index": 46,
            "year": "2018",
            "category": "（新课标ⅰ）",
            "score": 5,
            "question": "16. （5 分) 已知函数 $f(x)=2 \\sin x+\\sin 2 x$, 则 $f(x)$ 的最小值是\n",
            "standard_answer": "$\\frac{3 \\sqrt{3}}{2}$\n",
            "analysis": "解：由题意可得 $T=2 \\pi$ 是 $f(x)=2 \\sin x+\\sin 2 x$ 的一个周期,\n\n故只需考虑 $f(x)=2 \\sin x+\\sin 2 x$ 在 $[0,2 \\pi)$ 上的值域,\n\n先来求该函数在 $[0,2 \\pi)$ 上的极值点,\n\n求导数可得 $f^{\\prime}(x)=2 \\cos x+2 \\cos 2 x$\n\n$=2 \\cos x+2\\left(2 \\cos ^{2} x-1\\right)=2(2 \\cos x-1)(\\cos x+1)$,\n\n令 $f^{\\prime}(x)=0$ 可解得 $\\cos x=\\frac{1}{2}$ 或 $\\cos x=-1$,\n\n可得此时 $x=\\frac{\\pi}{3} ， \\pi$ 或 $\\frac{5 \\pi}{3}$;\n\n$\\therefore y=2 \\sin x+\\sin 2 x$ 的最小值只能在点 $x=\\frac{\\pi}{3}, \\pi$ 或 $\\frac{5 \\pi}{3}$ 和边界点 $x=0$ 中取到,\n\n计算可得 $f\\left(\\frac{\\pi}{3}\\right)=\\frac{3 \\sqrt{3}}{2}, f(\\pi)=0, f\\left(\\frac{5 \\pi}{3}\\right)=-\\frac{3 \\sqrt{3}}{2}, f(0)=0$,\n\n$\\therefore$ 函数的最小值为 $-\\frac{3 \\sqrt{3}}{2}$,\n\n故答案为: $\\frac{3 \\sqrt{3}}{2}$.\n",
            "model_output": "【解析】\n首先，我们知道正弦函数的取值范围是[-1,1]。那么，2*sin(x)的取值范围就是[-2,2]，sin(2x)的取值范围也是[-1,1]。\n那么，f(x) = 2*sin(x) + sin(2x)的取值范围就是[-2-1, 2+1]，即[-3, 3]。\n所以，f(x)的最小值是-3。\n<eoe>\n【答案】-3<eoa>",
            "model_correction": "【判分理由】学生的分析过程错误，没有正确理解题目中函数的最小值的求法，直接将两个函数的最小值相加得到了错误的结果。学生的答案与标准答案不符，因此不能给分。\n\n【得分】0分\n\n【总分】0分",
            "model_correction_score": [
                0.0
            ]
        },
        {
            "index": 47,
            "year": "2018",
            "category": "（新课标ⅱ）",
            "score": 5,
            "question": "13. (5 分) 曲线 $y=2 \\ln (x+1)$ 在点 $(0,0)$ 处的切线方程为\n",
            "standard_answer": "$y=2 x$\n",
            "analysis": "解: $\\because y=2 \\ln (x+1)$,\n\n$\\therefore y^{\\prime}=\\frac{2}{x+1}$,\n\n当 $x=0$ 时, $y^{\\prime}=2$,\n\n$\\therefore$ 曲线 $y=2 \\ln (x+1)$ 在点 $(0,0)$ 处的切线方程为 $y=2 x$.\n\n故答案为: $y=2 x$.\n",
            "model_output": "【解析】首先，我们需要找到曲线 $y=2 \\ln (x+1)$ 在点 $(0,0)$ 处的导数，也就是斜率。我们知道，对数函数的导数公式为：$(\\ln u)' = u'/u$，所以我们可以先对 $y=2 \\ln (x+1)$ 求导，得到 $y' = 2/(x+1)$。然后将 $x=0$ 代入求得的导数公式中，得到切线的斜率 $k = 2/(0+1) = 2$。然后，我们知道，切线方程的一般形式为 $y-y_1 = k(x-x_1)$，其中 $(x_1, y_1)$ 是切线经过的点，$k$ 是切线的斜率。将点 $(0,0)$ 和斜率 $k=2$ 代入切线方程，得到 $y = 2x$。所以，曲线 $y=2 \\ln (x+1)$ 在点 $(0,0)$ 处的切线方程为 $y = 2x$。<eoe>\n【答案】$y = 2x$<eoa>",
            "model_correction": "【判分理由】学生的分析过程正确，求导正确，求得的斜率正确，切线方程的推导正确，并且最终答案与标准答案一致。\n【得分】5分\n【总分】5分",
            "model_correction_score": [
                5.0
            ]
        },
        {
            "index": 48,
            "year": "2018",
            "category": "（新课标ⅱ）",
            "score": 5,
            "question": "15. (5 分）已知 $\\sin \\alpha+\\cos \\beta=1, \\cos \\alpha+\\sin \\beta=0$, 则 $\\sin (\\alpha+\\beta)=$\n",
            "standard_answer": "$-\\frac{1}{2}$\n",
            "analysis": "解: $\\sin \\alpha+\\cos \\beta=1$,\n\n两边平方可得: $\\sin ^{2} \\alpha+2 \\sin \\alpha \\cos \\beta+\\cos ^{2} \\beta=1$, (1),\n\n$\\cos \\alpha+\\sin \\beta=0$,\n\n两边平方可得: $\\cos ^{2} \\alpha+2 \\cos \\alpha \\sin \\beta+\\sin ^{2} \\beta=0$, (2),\n\n由(1)+2)得: $2+2(\\sin \\alpha \\cos \\beta+\\cos \\alpha \\sin \\beta)=1$, 即 $2+2 \\sin (\\alpha+\\beta)=1$,\n\n$\\therefore 2 \\sin (\\alpha+\\beta)=-1$\n\n$\\therefore \\sin (\\alpha+\\beta)=-\\frac{1}{2}$.\n\n故答案为: $-\\frac{1}{2}$.\n",
            "model_output": "【解析】\n已知 $\\sin \\alpha+\\cos \\beta=1, \\cos \\alpha+\\sin \\beta=0$，我们可以利用三角函数的和差化积公式来求解 $\\sin (\\alpha+\\beta)$。\n\n三角函数的和差化积公式中，$\\sin (\\alpha+\\beta)=\\sin \\alpha \\cos \\beta + \\cos \\alpha \\sin \\beta$。\n\n将已知的 $\\sin \\alpha+\\cos \\beta=1, \\cos \\alpha+\\sin \\beta=0$ 代入到上述公式中，得到：\n\n$\\sin (\\alpha+\\beta)=\\sin \\alpha \\cos \\beta + \\cos \\alpha \\sin \\beta=(\\sin \\alpha+\\cos \\beta)-(\\cos \\alpha+\\sin \\beta)=1-0=1$。\n<eoe>\n【答案】1<eoa>",
            "model_correction": "【判分理由】学生的分析过程正确地引用了三角函数的和差化积公式，但在代入已知条件时犯了错误。学生错误地将 $\\sin \\alpha+\\cos \\beta$ 和 $\\cos \\alpha+\\sin \\beta$ 直接代入和差化积公式，没有考虑到这两个表达式并不是 $\\sin \\alpha \\cos \\beta$ 和 $\\cos \\alpha \\sin \\beta$。因此，学生的答案与标准答案不符。\n\n【得分】0分\n\n【总分】0分",
            "model_correction_score": [
                0.0
            ]
        },
        {
            "index": 49,
            "year": "2018",
            "category": "（新课标ⅱ）",
            "score": 5,
            "question": "16. (5 分) 已知圆锥的顶点为 $\\mathrm{S}$, 母线 $\\mathrm{SA}, \\mathrm{SB}$ 所成角的余弦值为 $\\frac{7}{8}, \\mathrm{SA}$ 与圆 锥底面所成角为 $45^{\\circ}$, 若 $\\triangle S A B$ 的面积为 $5 \\sqrt{15}$, 则该圆雉的侧面积为\n",
            "standard_answer": "$40 \\sqrt{2} \\pi$\n",
            "analysis": "解 圆雉的顶点为 $\\mathrm{S}$, 母线 $\\mathrm{SA}, \\mathrm{SB}$ 所成角的余弦值为 $\\frac{7}{8}$, 可得 $\\sin \\angle A S B=$ $\\sqrt{1-\\left(\\frac{7}{8}\\right)^{2}}=\\frac{\\sqrt{15}}{8}$\n\n$\\triangle S A B$ 的面积为 $5 \\sqrt{15}$,\n\n可得 $\\frac{1}{2} S A^{2} \\sin \\angle A S B=5 \\sqrt{15}$, 即 $\\frac{1}{2} S A^{2} \\times \\frac{\\sqrt{15}}{8}=5 \\sqrt{15}$, 即 $S A=4 \\sqrt{5}$.\n\n$S A$ 与圆锥底面所成角为 $45^{\\circ}$, 可得圆雉的底面半径为: $\\frac{\\sqrt{2}}{2} \\times 4 \\sqrt{5}=2 \\sqrt{10}$.\n\n则该圆雉的侧面积: $\\frac{1}{2} \\times 4 \\sqrt{10} \\times 4 \\sqrt{5} \\pi=40 \\sqrt{2} \\pi$. 故答案为: $40 \\sqrt{2} \\pi$.\n",
            "model_output": "【解析】\n根据题意，我们知道$\\triangle SAB$的面积为$5\\sqrt{15}$，我们可以用公式$S=\\frac{1}{2}ab\\sin C$计算出$\\triangle SAB$的两边长$a$和$b$，其中$C$为$\\angle ASB$，即$\\cos C=\\frac{7}{8}$，所以$\\sin C=\\sqrt{1-\\cos^2 C}=\\sqrt{1-\\frac{49}{64}}=\\frac{\\sqrt{15}}{8}$。\n所以，我们可以得到$ab=\\frac{2S}{\\sin C}=2*5\\sqrt{15}/(\\frac{\\sqrt{15}}{8})=80$。\n又因为$\\angle SA$与圆锥底面所成角为$45^{\\circ}$，所以$SA=SB$，即$a=b=\\sqrt{80}=4\\sqrt{5}$。\n圆锥的侧面积为$\\pi r l$，其中$r$为底面半径，$l$为斜高。在$\\triangle SAB$中，$SA=SB=4\\sqrt{5}$，$\\angle ASB=45^{\\circ}$，所以底面半径$r=\\frac{SA}{2}=2\\sqrt{5}$，斜高$l=SA=4\\sqrt{5}$。\n所以，圆锥的侧面积为$\\pi r l=\\pi*2\\sqrt{5}*4\\sqrt{5}=40\\pi$。<eoe>\n【答案】40$\\pi$<eoa>",
            "model_correction": "【判分理由】学生在计算过程中犯了错误。学生正确地计算出了 $\\triangle SAB$ 的两边长 $SA$ 和 $SB$ 为 $4\\sqrt{5}$，但在计算圆锥底面半径时，学生错误地将 $SA$ 除以 $2$ 得到 $2\\sqrt{5}$，而正确的做法是应用 $45^{\\circ}$ 角的特性，即 $r = SA \\cdot \\frac{\\sqrt{2}}{2} = 4\\sqrt{5} \\cdot \\frac{\\sqrt{2}}{2} = 2\\sqrt{10}$。因此，学生计算出的侧面积 $40\\pi$ 与标准答案 $40\\sqrt{2}\\pi$ 不符。由于学生的答案与标准答案不一致，且错误关键在于底面半径的计算，这是解题过程中的一个重要步骤，因此学生的答案不能得分。\n\n【得分】0分\n\n【总分】0分",
            "model_correction_score": [
                0.0
            ]
        },
        {
            "index": 50,
            "year": "2018",
            "category": "（新课标ⅲ）",
            "score": 5,
            "question": "13. (5 分) 已知向量 $\\vec{a}=(1,2), \\vec{b}=(2,-2), \\vec{c}=(1, \\lambda)$. 若 $\\vec{c} / /(2 \\vec{a}+\\vec{b})$, 则 $\\lambda=$\n",
            "standard_answer": "$\\frac{1}{2}$.\n",
            "analysis": "解: $\\because$ 向量 $\\vec{a}=(1,2), \\vec{b}=(2,-2)$,\n\n$\\therefore 2 \\vec{a}+\\vec{b}=(4,2)$,\n\n$\\because \\vec{c}=(1, \\lambda), \\vec{c} / / \\quad(2 \\vec{a}+\\vec{b})$,\n\n$\\therefore \\frac{1}{4}=\\frac{\\lambda}{2}$,\n\n解得 $\\lambda=\\frac{1}{2}$.\n\n故答案为: $\\frac{1}{2}$.\n",
            "model_output": "【解析】\n首先，我们知道向量$\\vec{c}$与向量$(2\\vec{a}+\\vec{b})$平行，那么他们的方向相同，可以通过一个常数因子相互转化。所以我们有$\\vec{c}=k(2\\vec{a}+\\vec{b})$，其中$k$是一个常数。\n我们先计算向量$2\\vec{a}+\\vec{b}$的结果，得到$2\\vec{a}+\\vec{b}=(2*1+2, 2*2-2)=(4,2)$。\n然后我们将$\\vec{c}$和$2\\vec{a}+\\vec{b}$的结果代入上述等式，得到$(1,\\lambda)=k(4,2)$，由于向量的每个分量都需要满足这个等式，所以我们有$1=4k$和$\\lambda=2k$。\n解出$1=4k$，我们得到$k=1/4$，然后将$k$代入$\\lambda=2k$，我们可以得到$\\lambda$的值。\n<eoe>\n【答案】$\\lambda=1/2$<eoa>",
            "model_correction": "【判分理由】学生的分析过程正确，计算过程也正确，并且得出了正确的答案 $\\lambda=\\frac{1}{2}$。学生的答案与标准答案一致。\n\n【得分】5分\n\n【总分】5分",
            "model_correction_score": [
                5.0
            ]
        },
        {
            "index": 51,
            "year": "2018",
            "category": "（新课标ⅲ）",
            "score": 5,
            "question": "14. (5 分) 曲线 $y=(a x+1) e^{x}$ 在点 $(0,1)$ 处的切线的斜率为 -2 , 则 $a=$\n",
            "standard_answer": "-3 .\n",
            "analysis": "解: 曲线 $y=(a x+1) e^{x}$, 可得 $y^{\\prime}=a e^{x}+(a x+1) e^{x}$,\n\n曲线 $y=(a x+1) e^{x}$ 在点 $(0,1)$ 处的切线的斜率为 -2 ,\n\n可得: $a+1=-2$, 解得 $a=-3$.\n\n故答案为: -3 .\n",
            "model_output": "【解析】首先，我们需要找到给定函数的导数。函数 $y=(a x+1) e^{x}$ 的导数可以通过乘法法则和链式法则得到，即 $y'=(a x+1) e^{x}+a e^{x}$。然后，我们将点 $(0,1)$ 代入导数公式中，得到切线的斜率。因为题目已经给出切线的斜率为 -2，所以我们可以通过解方程 $y'(0)=-2$ 来找到 $a$ 的值。<eoe>\n【答案】-3<eoa>",
            "model_correction": "【判分理由】学生的分析过程正确地描述了求导数的方法，并且正确地使用了给定的点 $(0,1)$ 来求解切线的斜率。学生最终给出了正确的答案 -3。虽然学生的解析中没有明确写出导数的计算过程和代入点 $(0,1)$ 后的计算过程，但是学生的答案是正确的，并且解析中提到了正确的解题思路。因此，学生应该得到全部的分数。\n\n【得分】5分\n\n【总分】5分",
            "model_correction_score": [
                5.0
            ]
        },
        {
            "index": 52,
            "year": "2018",
            "category": "（新课标ⅲ）",
            "score": 5,
            "question": "15. (5 分) 函数 $f(x)=\\cos \\left(3 x+\\frac{\\pi}{6}\\right)$ 在 $[0, \\pi]$ 的零点个数为\n",
            "standard_answer": "3\n",
            "analysis": "解: $\\because f(x)=\\cos \\left(3 x+\\frac{\\pi}{6}\\right)=0$,\n\n$\\therefore 3 x+\\frac{\\pi}{6}=\\frac{\\pi}{2}+k \\pi, \\quad k \\in Z$,\n\n$\\therefore \\mathrm{x}=\\frac{\\pi}{9}+\\frac{1}{3} \\mathrm{k} \\pi, \\quad k \\in Z$,\n\n当 $\\mathrm{k}=0$ 时, $x=\\frac{\\pi}{9}$,\n\n当 $k=1$ 时, $x=\\frac{4}{9} \\pi$,\n\n当 $k=2$ 时, $x=\\frac{7}{9} \\pi$,\n\n当 $k=3$ 时, $x=\\frac{10}{9} \\pi$,\n\n$\\because x \\in[0, \\pi]$ $\\therefore x=\\frac{\\pi}{9}$, 或 $x=\\frac{4}{9} \\pi$, 或 $x=\\frac{7}{9} \\pi$,\n\n故零点的个数为 3 ,\n\n故答案为: 3\n",
            "model_output": "【解析】\n函数 $f(x)=\\cos \\left(3 x+\\frac{\\pi}{6}\\right)$ 的周期为 $\\frac{2\\pi}{3}$，在 $[0, \\pi]$ 这个区间内，函数 $f(x)$ 完整地走完了一个周期和半个周期，也就是说，函数 $f(x)$ 在 $[0, \\pi]$ 内的零点个数等于一个周期内的零点个数乘以1.5。我们知道，一个周期内，余弦函数有两个零点，所以在 $[0, \\pi]$ 内，函数 $f(x)$ 的零点个数为 $2*1.5=3$。<eoe>\n【答案】3<eoa>",
            "model_correction": "【判分理由】学生的分析过程虽然不是通过解方程的标准方法，但是他们正确地识别了函数的周期，并且正确地推断出在区间 $[0, \\pi]$ 内函数的零点个数。学生的答案与标准答案一致，因此可以给满分。\n\n【得分】5分\n\n【总分】5分",
            "model_correction_score": [
                5.0
            ]
        },
        {
            "index": 53,
            "year": "2018",
            "category": "（新课标ⅲ）",
            "score": 5,
            "question": "16. (5 分) 已知点 $M(-1,1)$ 和抛物线 $C: y^{2}=4 x$, 过 $C$ 的焦点且斜率为 $k$ 的直线与 $C$ 交于 $A, B$ 两点. 若 $\\angle A M B=90^{\\circ}$, 则 $k=$\n",
            "standard_answer": "2\n",
            "analysis": "解: $\\because$ 抛物线 $\\mathrm{C}: \\mathrm{y}^{2}=4 \\mathrm{x}$ 的焦点 $F(1,0)$,\n\n$\\therefore$ 过 $A, B$ 两点的直线方程为 $y=k \\quad(x-1)$,\n\n联立 $\\left\\{\\begin{array}{l}y^{2}=4 x \\\\ y=k(x-1)\\end{array}\\right.$ 可得, $k^{2} x^{2}-2\\left(2+k^{2}\\right) \\quad x+k^{2}=0$,\n\n设 $\\mathrm{A}\\left(\\mathrm{x}_{1}, \\mathrm{y}_{1}\\right), \\mathrm{B}\\left(\\mathrm{x}_{2}, \\mathrm{y}_{2}\\right)$ ，\n\n则 $x_{1}+x_{2}=\\frac{4+2 k^{2}}{k^{2}}, x_{1} x_{2}=1$,\n\n$\\therefore \\mathrm{y}_{1}+\\mathrm{y}_{2}=\\mathrm{k} \\quad\\left(\\mathrm{x}_{1}+\\mathrm{x}_{2}-2\\right)=\\frac{4}{\\mathrm{k}}, \\quad \\mathrm{y}_{1} \\mathrm{y}_{2}=\\mathrm{k}^{2}\\left(\\mathrm{x}_{1}-1\\right) \\quad\\left(\\mathrm{x}_{2}-1\\right)=\\mathrm{k}^{2}\\left[\\mathrm{x}_{1} \\mathrm{x}_{2}-\\left(\\mathrm{x}_{1}+\\mathrm{x}_{2}\\right)+1\\right]=$ $-4$ $\\because M(-1,1)$\n\n$\\therefore \\overrightarrow{M A}=\\left(x_{1}+1, y_{1}-1\\right), \\overrightarrow{M B}=\\left(x_{2}+1, y_{2}-1\\right)$,\n\n$\\because \\angle \\mathrm{AMB}=90^{\\circ}, \\quad \\therefore \\overrightarrow{\\mathrm{MA}} \\cdot \\overrightarrow{\\mathrm{MB}}=0$\n\n$\\therefore\\left(\\mathrm{x}_{1}+1\\right)\\left(\\mathrm{x}_{2}+1\\right)+\\left(\\mathrm{y}_{1}-1\\right)\\left(\\mathrm{y}_{2}-1\\right)=0$\n\n整理可得, $x_{1} x_{2}+\\left(x_{1}+x_{2}\\right)+y_{1} y_{2}-\\left(y_{1}+y_{2}\\right)+2=0$,\n\n$\\therefore 1+2+\\frac{4}{k^{2}}-4-\\frac{4}{k}+2=0$,\n\n即 $k^{2}-4 k+4=0$ ，\n\n$\\therefore \\mathrm{k}=2$.\n\n故答案为: 2\n",
            "model_output": "【解析】\n首先，我们知道抛物线 $C: y^{2}=4 x$ 的焦点为 $(1,0)$。\n设过焦点且斜率为 $k$ 的直线方程为 $y=k(x-1)$。\n由于直线与抛物线交于 $A, B$ 两点，所以我们可以将直线方程代入抛物线方程得到交点的坐标。\n即，解方程组 $y=k(x-1), y^{2}=4x$，得到 $x=\\frac{k^2}{4}+1, y=\\pm k(\\frac{k^2}{4})$。\n因为 $\\angle A M B=90^{\\circ}$，根据直角三角形的性质，我们有 $AM^2+BM^2=AB^2$。\n将 $A, B, M$ 的坐标代入上述公式，整理得到 $k^4-8k^2+16=0$。\n解这个方程，我们可以得到 $k$ 的值。\n<eoe>\n【答案】\n$k=2, -2$<eoa>",
            "model_correction": "【判分理由】\n学生的解析过程中，首先正确地确定了抛物线的焦点坐标和过焦点的直线方程。然而，在解方程组时出现了错误，学生得到的 $x$ 和 $y$ 的表达式不正确。正确的解法应该是将直线方程代入抛物线方程后解出 $x$ 和 $y$ 的值，然后利用这些值来求解 $k$。学生在解方程组后没有正确地求出 $A$ 和 $B$ 的坐标，因此无法正确地应用直角三角形的性质来求解 $k$。\n\n学生在最后得出了 $k=2, -2$ 的结论，这与标准答案中的 $k=2$ 不完全一致。由于题目要求的是 $\\angle AMB=90^{\\circ}$，这意味着直线的斜率应该是唯一确定的。学生的答案中包含了 $-2$，这是不正确的，因为它并不满足题目中的条件。\n\n由于学生的解析过程中存在错误，并且最终答案不完全正确，应该扣除一部分分数。但是，学生的答案中包含了正确答案的一部分（$k=2$），因此可以给予部分分数。\n\n【得分】2分（学生得出了正确答案的一部分，但由于解题过程中的错误和最终答案的不完整性，不能给予满分。）\n\n【总分】2分",
            "model_correction_score": [
                2.0
            ]
        },
        {
            "index": 54,
            "year": "2019",
            "category": "（新课标ⅰ）",
            "score": 5,
            "question": "13. 曲线 $y=3\\left(x^{2}+x\\right) \\mathrm{e}^{x}$ 在点 $(0,0)$ 处的切线方程为\n",
            "standard_answer": "$3 x-y=0$.\n",
            "analysis": "【详解】详解: $y^{\\prime}=3(2 x+1) e^{x}+3\\left(x^{2}+x\\right) e^{x}=3\\left(x^{2}+3 x+1\\right) e^{x}$,\n\n所以, $k=\\left.y^{\\prime}\\right|_{x=0}=3$\n\n所以, 曲线 $y=3\\left(x^{2}+x\\right) \\mathrm{e}^{x}$ 在点 $(0,0)$ 处的切线方程为 $y=3 x$, 即 $3 x-y=0$.\n",
            "model_output": "【解析】首先，我们需要找到函数的导数，因为切线的斜率就是函数在该点的导数。这是一个复合函数，我们可以使用乘法法则和链式法则来找到导数。\n函数的导数为：$y'=3(x^{2}+x)'e^{x}+3(x^{2}+x)e^{x}'$，化简得到：$y'=(6x+3)e^{x}+3(x^{2}+x)e^{x}$。\n然后，我们将点$(0,0)$代入导数中，得到切线的斜率：$k=y'(0)=(6*0+3)e^{0}+3*(0^{2}+0)e^{0}=3$。\n最后，我们使用点斜式方程$y-y_{1}=k(x-x_{1})$，将点$(0,0)$和斜率$k=3$代入，得到切线方程。<eoe>\n【答案】$y=3x$<eoa>",
            "model_correction": "【判分理由】学生的分析过程正确地找到了函数的导数，并且正确地计算了在点 $(0,0)$ 处的导数值，得到了正确的切线斜率 $k=3$。学生使用了点斜式方程来得出切线方程，最终给出了正确的答案 $y=3x$。虽然学生在导数的化简过程中有一点小错误，即没有将导数化简到最简形式，但这并不影响最终的切线方程。因此，学生的答案是正确的。\n\n【得分】5分\n\n【总分】5分",
            "model_correction_score": [
                5.0
            ]
        },
        {
            "index": 55,
            "year": "2019",
            "category": "（新课标ⅰ）",
            "score": 5,
            "question": "14. 记 $S_{n}$ 为等比数列 $\\left\\{a_{n}\\right\\}$ 的前 $n$ 项和. 若 $a_{1}=\\frac{1}{3}, a_{4}^{2}=a_{6}$, 则 $S_{5}=$\n",
            "standard_answer": "$\\frac{121}{3}$.\n",
            "analysis": "【详解】设等比数列的公比为 $q$, 由已知 $a_{1}=\\frac{1}{3}, a_{4}{ }^{2}=a_{6}$, 所以 $\\left(\\frac{1}{3} q^{3}\\right)^{2}=\\frac{1}{3} q^{5}$, 又 $q \\neq 0$,\n\n所以 $q=3$, 所以 $S_{5}=\\frac{a_{1}\\left(1-q^{5}\\right)}{1-q}=\\frac{\\frac{1}{3}\\left(1-3^{5}\\right)}{1-3}=\\frac{121}{3}$.\n",
            "model_output": "【解析】\n首先，根据题目给出的条件，我们知道$a_{4}^{2}=a_{6}$，由等比数列的性质我们知道$a_{4}=a_{1}q^{3}$，$a_{6}=a_{1}q^{5}$，其中$q$是等比数列的公比。所以我们可以得到$(a_{1}q^{3})^2=a_{1}q^{5}$，化简得到$q^6=1$，所以$q=1$。\n然后，我们知道等比数列的前n项和公式$S_{n}=a_{1}\\frac{1-q^n}{1-q}$，由于$q=1$，所以公式变为$S_{n}=na_{1}$。\n最后，将$a_{1}=\\frac{1}{3}$，$n=5$代入公式，我们可以得到$S_{5}=5*\\frac{1}{3}=\\frac{5}{3}$。\n<eoe>\n【答案】$\\frac{5}{3}$<eoa>",
            "model_correction": "【判分理由】学生在解题过程中犯了一个严重的错误，即错误地得出了公比 $q=1$。实际上，由等比数列的性质，$(a_{1}q^{3})^2=a_{1}q^{5}$ 应该化简为 $q^6=q^2$，从而得出 $q^4=1$，而不是 $q^6=1$。由于 $q \\neq 0$，正确的解应该是 $q=1$ 或 $q=-1$。但由于 $a_{1}=\\frac{1}{3}$ 为正数，且等比数列的项是递增的，因此 $q$ 应该是正数，即 $q=1$ 是错误的结论。正确的公比应该是 $q=3$。\n\n由于学生的错误导致了后续所有的计算都是错误的，因此在计算 $S_{5}$ 时也得到了错误的答案 $\\frac{5}{3}$。正确答案应该是 $\\frac{121}{3}$。\n\n根据高考数学试卷的评分标准，对于解题过程中的关键错误，通常会扣除大部分或全部分数。在这种情况下，学生的答案与标准答案完全不符，因此应该给0分。\n\n【得分】0分\n【总分】0分",
            "model_correction_score": [
                0.0
            ]
        },
        {
            "index": 56,
            "year": "2019",
            "category": "（新课标ⅰ）",
            "score": 5,
            "question": "15.甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时, 该队获胜，决赛 结束). 根据前期比赛成绩, 甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”. 设甲队主场取胜 的概率为 0.6 , 客场取胜的概率为 0.5 , 且各场比赛结果相互独立, 则甲队以 $4: 1$ 获胜的概 率是\n",
            "standard_answer": "0.216.\n",
            "analysis": "【详解】前五场中有一场客场输时, 甲队以 $4: 1$ 获胜的概率是 $0.6^{3} \\times 0.5 \\times 0.5 \\times 2=0.108$, 前五场中有一场主场输时, 甲队以 $4: 1$ 获胜的概率是 $0.4 \\times 0.6^{2} \\times 0.5^{2} \\times 3=0.108$, 综上所述，甲队以 $4: 1$ 获胜的概率是 $q \\neq 00.108+0.108=0.216$.\n",
            "model_output": "【解析】\n甲队以4:1获胜，即甲队在前5场比赛中赢得4场。根据甲队的主客场安排，前5场比赛中有3场主场和2场客场。所以，甲队以4:1获胜的情况有以下几种：\n1. 主场赢3场，客场赢1场，主场输1场。这种情况的概率为C(3,3)*C(2,1)*0.6^3*0.5*0.4=0.036。\n2. 主场赢2场，客场赢2场，主场输1场。这种情况的概率为C(3,2)*C(2,2)*0.6^2*0.5^2*0.4=0.072。\n3. 主场赢1场，客场赢3场，客场输1场。这种情况的概率为C(3,1)*C(2,1)*0.6*0.5^3*0.5=0.045。\n4. 主场赢0场，客场赢4场。这种情况的概率为C(3,0)*C(2,2)*0.4^3*0.5^2=0.008。\n将以上四种情况的概率相加，即可得到甲队以4:1获胜的概率。\n<eoe>\n【答案】0.036+0.072+0.045+0.008=0.161<eoa>",
            "model_correction": "【判分理由】学生的分析过程考虑了甲队以4:1获胜的所有可能情况，但是计算过程中存在错误。学生没有正确理解题目中的“4:1获胜”是指甲队在前五场比赛中赢得四场，而不是考虑所有七场比赛的结果。学生的答案中错误地将所有七场比赛的结果都考虑进去，这导致了错误的概率计算。正确的计算应该是考虑甲队在前五场比赛中赢得四场的情况，即甲队在前五场比赛中有一场输球，而不是考虑七场比赛的所有可能结果。因此，学生的答案是错误的。\n\n【得分】0分\n\n【总分】0分",
            "model_correction_score": [
                0.0
            ]
        },
        {
            "index": 57,
            "year": "2019",
            "category": "（新课标ⅱ）",
            "score": 5,
            "question": "13. 我国高铁发展迅速, 技术先进. 经统计, 在经停某站的高铁列车中, 有 10 个车次的正点 率为 0.97 , 有 20 个车次的正点率为 0.98 , 有 10 个车次的正点率为 0.99 , 则经停该站高铁列 车所有车次的平均正点率的估计值为\n",
            "standard_answer": "0. 98.\n",
            "analysis": "【详解】由】题意得, 经停该高铁站的列车正点数约为 $10 \\times 0.97+20 \\times 0.98+10 \\times 0.99=39.2$, 其中高铁个数为 $10+20+10=40$, 所以该站所有高 铁平均正点率约为 $\\frac{39.2}{40}=0.98$.\n",
            "model_output": "【解析】\n首先，我们需要理解题目中的\"平均正点率\"是怎么计算的。平均正点率应该是所有车次正点率的总和除以车次的总数。\n根据题目，有10个车次的正点率为0.97，20个车次的正点率为0.98，10个车次的正点率为0.99。所以，所有车次的正点率的总和为10*0.97+20*0.98+10*0.99。\n车次的总数为10+20+10=40。\n所以，平均正点率的估计值为(10*0.97+20*0.98+10*0.99)/40。<eoe>\n【答案】0.98<eoa>",
            "model_correction": "【判分理由】学生的分析过程正确地理解了题目中的\"平均正点率\"的计算方法，并且正确地计算出了所有车次的正点率的总和以及车次的总数。学生在解析部分没有给出具体的数值计算过程，但是在答案部分给出了正确的答案0.98。根据高考数学试卷的评分标准，即使学生没有写出具体的计算过程，但是答案正确，也应该给予全分。\n\n【得分】5分\n\n【总分】5分",
            "model_correction_score": [
                5.0
            ]
        },
        {
            "index": 58,
            "year": "2019",
            "category": "（新课标ⅱ）",
            "score": 5,
            "question": "14. 已知 $f(x)$ 是奇函数, 且当 $x<0$ 时, $f(x)=-\\mathrm{e}^{a x}$. 若 $f(\\ln 2)=8$, 则 $a=$\n",
            "standard_answer": "-3\n",
            "analysis": "【详解】因为 $f(x)$ 是奇函数, 且当 $x<0$ 时, $f(x)=-e^{-a x}$.\n\n又因为 $\\ln 2 \\in(0,1), f(\\ln 2)=8$,\n\n所以 $-e^{-a \\ln 2}=-8$, 两边取以 $e$ 为底的对数得 $-a \\ln 2=3 \\ln 2$, 所以 $-a=3$, 即 $3 \\pi$.\n",
            "model_output": "【解析】奇函数的性质是：f(-x)=-f(x)。所以当x>0时，f(x)=-f(-x)=e^{-ax}。因为f(ln2)=8，所以8=e^{-a*ln2}=e^{-a*ln2}=2^{-a}。解这个方程得到a的值。<eoe>\n【答案】3<eoa>",
            "model_correction": "【判分理由】学生在分析过程中正确地使用了奇函数的性质，但在计算过程中出现了错误。学生得出 $f(x) = e^{-ax}$ 当 $x > 0$，这是正确的。然而，在解方程 $8 = e^{-a \\ln 2}$ 时，学生错误地将其简化为 $2^{-a}$，这是不正确的。正确的简化应该是 $8 = e^{-a \\ln 2} = (e^{\\ln 2})^{-a} = 2^{-a}$。然后，学生应该得出 $2^{-a} = 2^3$，从而得到 $-a = 3$，即 $a = -3$。学生的最终答案是 $3$，这与标准答案 $-3$ 不符。因此，学生的答案是错误的。\n\n【得分】0分\n\n【总分】0分",
            "model_correction_score": [
                0.0
            ]
        },
        {
            "index": 59,
            "year": "2019",
            "category": "（新课标ⅱ）",
            "score": 5,
            "question": "15. $\\vee A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$. 若 $b=6, a=2 c, B=\\frac{\\pi}{3}$, 则 $\\bigvee A B C$ 的面 积为\n",
            "standard_answer": "$6 \\sqrt{3}$\n",
            "analysis": "【详解】由余弦定理得 $b^{2}=a^{2}+c^{2}-2 a c \\cos B$,\n\n所以 $(2 c)^{2}+c^{2}-2 \\times 2 c \\times c \\times \\frac{1}{2}=6^{2}$,\n\n即 $c^{2}=12$\n\n解得 $c=2 \\sqrt{3}, c=-2 \\sqrt{3}$ (舍去)\n\n所以 $a=2 c=4 \\sqrt{3}$, \n\n$$\nS_{\\triangle A B C}=\\frac{1}{2} a c \\sin B=\\frac{1}{2} \\times 4 \\sqrt{3} \\times 2 \\sqrt{3} \\times \\frac{\\sqrt{3}}{2}=6 \\sqrt{3} \\text {. }\n$$\n",
            "model_output": "【解析】根据三角形的面积公式，面积S=1/2*ab*sinC，其中a，b是两边的长度，C是这两边所对的夹角。由于已知b=6，B=π/3，所以我们可以计算出a的长度。根据三角形的正弦定理，a/sinA=b/sinB=c/sinC，我们可以得到a=b*sinA/sinB=6*sinA/sin(π/3)。又因为a=2c，所以我们可以得到c=a/2=3*sinA/sin(π/3)。然后我们可以用面积公式计算出面积S=1/2*6*3*sinA/sin(π/3)*sinC=9*sinA*sinC/sin(π/3)。但是我们还需要知道sinA和sinC的值。根据三角形的内角和定理，A+C=π-B=2π/3，所以sinA*sinC=sin(2π/3-B)=sin(π/3)=√3/2。所以，面积S=9*sinA*sinC/sin(π/3)=9*√3/2/√3/2=9。<eoe>\n【答案】9<eoa>",
            "model_correction": "【判分理由】\n学生的答案与标准答案不符。学生在计算过程中使用了错误的方法，即错误地应用了正弦定理和面积公式。学生没有正确地使用余弦定理来求解边长c，并且错误地假设了角A和角C的关系，导致最终的面积计算错误。因此，学生的答案是错误的。\n\n【得分】0分\n\n【总分】0分",
            "model_correction_score": [
                0.0
            ]
        },
        {
            "index": 60,
            "year": "2019",
            "category": "（新课标ⅲ）",
            "score": 5,
            "question": "13. 已知 $\\boldsymbol{a}, \\boldsymbol{b}$ 为单位向量, 且 $\\boldsymbol{a} \\cdot \\boldsymbol{b}=0$, 若 $\\boldsymbol{c}=2 \\boldsymbol{a}-\\sqrt{5} \\boldsymbol{b}$, 则 $\\cos \\langle\\vec{a}, \\vec{c}\\rangle=$\n",
            "standard_answer": "$\\frac{2}{3}$.\n",
            "analysis": "【详解】因为 $\\vec{c}=2 \\vec{a}-\\sqrt{5} \\vec{b}, \\vec{a} \\cdot \\vec{b}=0$ ， 所以 $\\vec{a} \\cdot \\vec{c}=2 \\vec{a}^{2}-\\sqrt{5} \\vec{a} \\cdot \\vec{b}=2$ ，\n\n$|\\vec{c}|^{2}=4|\\vec{a}|^{2}-4 \\sqrt{5} \\vec{a} \\cdot \\vec{b}+5|\\vec{b}|^{2}=9$, 所以 $|\\vec{c}|=3$\n\n所以 $\\cos \\langle\\vec{a}, \\vec{c}\\rangle=\\frac{\\vec{a} \\cdot \\vec{c}}{|\\vec{a}| \\cdot|\\vec{c}|}=\\frac{2}{1 \\times 3}=\\frac{2}{3}$.\n",
            "model_output": "【解析】\n已知向量a和向量b是单位向量，所以它们的模都为1，即|a|=|b|=1。\n又因为a·b=0，所以向量a和向量b是正交的。\n我们需要求的是cos<a,c>，根据向量的夹角余弦公式，cos<a,c> = (a·c)/(|a|*|c|)。\n首先我们来求a·c，根据向量的点积运算法则，a·c = a·(2a-√5b) = 2a·a - √5a·b = 2*|a|^2 - √5*a·b = 2*1 - √5*0 = 2。\n然后我们来求|c|，根据向量的模的计算公式，|c| = √[(2a-√5b)·(2a-√5b)] = √[4a·a + 5b·b - 4*√5a·b] = √[4*1 + 5*1 - 4*√5*0] = √9 = 3。\n所以cos<a,c> = (a·c)/(|a|*|c|) = 2/(1*3) = 2/3。\n<eoe>\n【答案】2/3<eoa>",
            "model_correction": "【判分理由】学生的分析过程正确地计算了 $\\vec{a} \\cdot \\vec{c}$ 和 $|\\vec{c}|$ 的值，并且正确地应用了向量夹角余弦的公式来求解 $\\cos \\langle\\vec{a}, \\vec{c}\\rangle$。学生的答案与标准答案一致。\n\n【得分】5分\n\n【总分】5分",
            "model_correction_score": [
                5.0
            ]
        },
        {
            "index": 61,
            "year": "2019",
            "category": "（新课标ⅲ）",
            "score": 5,
            "question": "14. 记 $S_{n}$ 为等差数列 $\\left\\{a_{n}\\right\\}$ 的前 $n$ 项和, $a_{1} \\neq 0, a_{2}=3 a_{1}$, 则 $\\frac{S_{10}}{S_{5}}=$\n",
            "standard_answer": "4.\n",
            "analysis": "【详解】因 $a_{2}=3 a_{1}$, 所以 $a_{1}+d=3 a_{1}$, 即 $2 a_{1}=d$,\n\n所以 $\\frac{S_{10}}{S_{5}}=\\frac{10 a_{1}+\\frac{10 \\times 9}{2} d}{5 a_{1}+\\frac{5 \\times 4}{2} d}=\\frac{100 a_{1}}{25 a_{1}}=4$.\n",
            "model_output": "【解析】\n首先，我们知道等差数列的前n项和公式为：$S_{n}=\\frac{n}{2}[2a_{1}+(n-1)d]$，其中$a_{1}$是首项，$d$是公差。\n题目给出了$a_{1} \\neq 0, a_{2}=3 a_{1}$，所以我们可以求出公差$d=a_{2}-a_{1}=2a_{1}$。\n将$a_{1}$和$d$代入等差数列前n项和公式，我们得到$S_{n}=\\frac{n}{2}[2a_{1}+(n-1)2a_{1}]=na_{1}^{2}$。\n所以，$\\frac{S_{10}}{S_{5}}=\\frac{10a_{1}^{2}}{5a_{1}^{2}}$。\n<eoe>\n【答案】2<eoa>",
            "model_correction": "【判分理由】学生在分析过程中正确地得出了公差 $d=2a_{1}$，但在计算 $S_{n}$ 时出现了错误，错误地将 $S_{n}$ 表达为 $na_{1}^{2}$，这是不正确的。正确的表达式应该是 $S_{n}=\\frac{n}{2}[2a_{1}+(n-1)d]$。在计算 $\\frac{S_{10}}{S_{5}}$ 时，学生没有正确地代入 $S_{n}$ 的表达式，而是错误地使用了 $na_{1}^{2}$，导致得出了错误的答案 2。因此，学生的答案是错误的。\n\n【得分】0分\n\n【总分】0分",
            "model_correction_score": [
                0.0
            ]
        },
        {
            "index": 62,
            "year": "2019",
            "category": "（新课标ⅲ）",
            "score": 5,
            "question": "15. 设 $F_{1}, F_{2}$ 为椭圆 $C: \\frac{x^{2}}{36}+\\frac{y^{2}}{20}=1$ 的两个焦点, $M$ 为 $C$ 上一点且在第一象限. 若 $\\triangle M F_{1} F_{2}$ 为等腰三角形, 则 $M$ 的坐标为\n",
            "standard_answer": "$(3, \\sqrt{15})$\n",
            "analysis": "【详解 】由已知可得 $a^{2}=36, b^{2}=36, \\therefore c^{2}=a^{2}-b^{2}=16, \\therefore c=4$,\n\n$\\therefore\\left|M F_{1}\\right|=\\left|F_{1} F_{2}\\right|=2 c=8$.\n\n$\\because\\left|M F_{1}\\right|+\\left|M F_{2}\\right|=2 a=12,\\left|M F_{2}\\right|=4$.\n\n设点 $M$ 的坐标为 $\\left(x_{0}, y_{0}\\right)\\left(x_{0}>0, y_{0}>0\\right)$, 则 $S_{\\triangle M F_{1} F_{2}}=\\frac{1}{2} \\cdot\\left|F_{1} F_{2}\\right| \\cdot y_{0}=4 y_{0}$,\n\n又 $S_{\\triangle M F_{1} F_{2}}=\\frac{1}{2} \\times 4 \\times \\sqrt{8^{2}-2^{2}}=4 \\sqrt{15}, \\therefore 4 y_{0}=4 \\sqrt{15}$, 解得 $y_{0}=\\sqrt{15}$,\n\n$\\therefore \\frac{x_{0}^{2}}{36}+\\frac{(\\sqrt{15})^{2}}{20}=1$, 解得 $x_{0}=3$ ( $x_{0}=-3$ 舍去)，\n\n$\\backslash M$ 的坐标为 $(3, \\sqrt{15})$.\n",
            "model_output": "【解析】\n首先，我们知道椭圆的焦点的坐标可以通过公式 $F_{1}(-c,0), F_{2}(c,0)$ 计算，其中 $c=\\sqrt{a^2-b^2}$，$a$ 是椭圆长轴的一半，$b$ 是椭圆短轴的一半。在这个问题中，我们有 $a^2=36$，$b^2=20$，所以 $c=\\sqrt{36-20}=\\sqrt{16}=4$。所以，焦点的坐标是 $F_{1}(-4,0), F_{2}(4,0)$。\n\n然后，因为 $\\triangle M F_{1} F_{2}$ 是等腰三角形，所以 $MF_{1}=MF_{2}$。设 $M(x,y)$，我们可以写出两个距离的公式，然后令它们相等：\n\n$\\sqrt{(x+4)^2+y^2}=\\sqrt{(x-4)^2+y^2}$\n\n平方后得到：$(x+4)^2=(x-4)^2$，解这个方程得到 $x=0$。\n\n再将 $x=0$ 代入椭圆的方程 $\\frac{x^{2}}{36}+\\frac{y^{2}}{20}=1$，得到 $\\frac{y^{2}}{20}=1$，解这个方程得到 $y=\\pm\\sqrt{20}$。\n\n因为 $M$ 在第一象限，所以 $y>0$，所以 $y=\\sqrt{20}$。\n\n所以，$M$ 的坐标为 $(0, \\sqrt{20})$。\n<eoe>\n【答案】\n$(0, \\sqrt{20})$\n<eoa>",
            "model_correction": "【判分理由】\n学生的答案 $(0, \\sqrt{20})$ 与标准答案 $(3, \\sqrt{15})$ 不一致。学生在解题过程中犯了一个错误，即错误地认为 $MF_1 = MF_2$ 时 $x=0$，这是不正确的。正确的做法是利用等腰三角形的性质和椭圆的定义来求解 $M$ 点的坐标。学生没有正确使用椭圆的性质，即点 $M$ 到两焦点的距离之和为 $2a$，而是错误地将两距离相等，导致了错误的答案。因此，学生的答案是错误的。\n\n【得分】0分\n\n【总分】0分",
            "model_correction_score": [
                0.0
            ]
        },
        {
            "index": 63,
            "year": "2020",
            "category": "（全国卷Ⅲ）",
            "score": 5,
            "question": "14. $\\left(x^{2}+\\frac{2}{x}\\right)^{6}$ 的展开式中常数项是 (用数字作答).\n",
            "standard_answer": "240\n",
            "analysis": "【详解】 $\\because\\left(x^{2}+\\frac{2}{x}\\right)^{6}$\n\n其二项式展开通项:\n\n$T_{r+1}=C_{6}^{r} \\cdot\\left(x^{2}\\right)^{6-r} \\cdot\\left(\\frac{2}{x}\\right)^{r}$\n\n$=C_{6}^{r} \\cdot x^{12-2 r}(2)^{r} \\cdot x^{-r}$\n\n$=C_{6}^{r}(2)^{r} \\cdot x^{12-3 r}$\n\n当 $12-3 r=0$, 解得 $r=4$\n\n$\\therefore\\left(x^{2}+\\frac{2}{x}\\right)^{6}$ 的展开式中常数项是: $C_{6}^{4} \\cdot 2^{4}=C_{6}^{2} \\cdot 16=15 \\times 16=240$.\n\n故答案为: 240 .\n",
            "model_output": "【解析】\n这是一个二项式定理的问题。二项式定理中有一个重要的公式：$(a+b)^n=\\sum_{k=0}^{n}C_n^ka^{n-k}b^k$，其中$C_n^k$表示组合数，也就是从$n$个不同的元素中取出$k$个元素的所有可能的组合数。\n\n在这个问题中，$a=x^2$，$b=\\frac{2}{x}$，$n=6$。我们需要找到展开式中的常数项，也就是$x$的指数为0的项。\n\n由二项式定理，$(x^2+\\frac{2}{x})^6$的展开式中的每一项可以表示为$C_6^k(x^2)^{6-k}(\\frac{2}{x})^k$，其中$k$从0到6。\n\n我们需要找到使$x$的指数为0的$k$，也就是满足$2(6-k)-k=0$的$k$。解这个方程，我们得到$k=4$。\n\n所以，常数项是$C_6^4(x^2)^{6-4}(\\frac{2}{x})^4=C_6^4*2^4=C_6^4*16$。\n\n我们知道$C_6^4=\\frac{6!}{4!(6-4)!}=\\frac{6*5}{2*1}=15$。\n\n所以，常数项是$15*16=240$。<eoe>\n\n【答案】240<eoa>",
            "model_correction": "【判分理由】学生的分析过程正确，且得出了正确的答案。学生正确地应用了二项式定理，找到了使$x$的指数为0的$k$值，并正确地计算出了组合数$C_6^4$以及最终的常数项240。\n\n【得分】5分\n\n【总分】5分",
            "model_correction_score": [
                5.0
            ]
        },
        {
            "index": 64,
            "year": "2020",
            "category": "（全国卷Ⅲ）",
            "score": 5,
            "question": "16. 关于函数 $f(x)=\\sin x+\\frac{1}{\\sin x}$ 有如下四个命题:\n\n(1) $f(x)$ 的图像关于 $y$ 轴对称.\n\n(2) $f(x)$ 的图像关于原点对称.\n\n(3) $f(x)$ 的图像关于直线 $x=\\frac{\\pi}{2}$ 对称.\n\n(4) $f(x)$ 的最小值为 2 .\n\n其中所有真命题的序号是\n",
            "standard_answer": "(2)}\n",
            "analysis": "【详解】对于命题(1), $f\\left(\\frac{\\pi}{6}\\right)=\\frac{1}{2}+2=\\frac{5}{2}, f\\left(-\\frac{\\pi}{6}\\right)=-\\frac{1}{2}-2=-\\frac{5}{2}$, 则 $f\\left(-\\frac{\\pi}{6}\\right) \\neq f\\left(\\frac{\\pi}{6}\\right)$, 所以, 函数 $f(x)$ 的图象不关于 $y$ 轴对称，命题(1)错误;\n\n对于命题(2), 函数 $f(x)$ 的定义域为 $\\{x \\mid x \\neq k \\pi, k \\in Z\\}$, 定义域关于原点对称, $f(-x)=\\sin (-x)+\\frac{1}{\\sin (-x)}=-\\sin x-\\frac{1}{\\sin x}=-\\left(\\sin x+\\frac{1}{\\sin x}\\right)=-f(x)$,\n\n所以, 函数 $f(x)$ 的图象关于原点对称，命题(2)正确;\n\n对于命题(3), $\\because f\\left(\\frac{\\pi}{2}-x\\right)=\\sin \\left(\\frac{\\pi}{2}-x\\right)+\\frac{1}{\\sin \\left(\\frac{\\pi}{2}-x\\right)}=\\cos x+\\frac{1}{\\cos x}$,\n\n$f\\left(\\frac{\\pi}{2}+x\\right)=\\sin \\left(\\frac{\\pi}{2}+x\\right)+\\frac{1}{\\sin \\left(\\frac{\\pi}{2}+x\\right)}=\\cos x+\\frac{1}{\\cos x}, \\quad$ 则 $f\\left(\\frac{\\pi}{2}-x\\right)=f\\left(\\frac{\\pi}{2}+x\\right)$,\n\n所以, 函数 $f(x)$ 的图象关于直线 $x=\\frac{\\pi}{2}$ 对称, 命题(3)正确;\n\n对于命题(4), 当 $-\\pi<x<0$ 时, $\\sin x<0$, 则 $f(x)=\\sin x+\\frac{1}{\\sin x}<0<2$,\n\n命题(4)错误.\n\n故答案为: (2)(3).\n",
            "model_output": "【解析】\n首先，我们需要理解这四个命题的含义，并对函数 $f(x)=\\sin x+\\frac{1}{\\sin x}$ 进行分析。\n\n(1) 如果一个函数的图像关于 $y$ 轴对称，那么它必须满足 $f(-x)=f(x)$。我们可以看到，对于函数 $f(x)=\\sin x+\\frac{1}{\\sin x}$，如果我们将 $x$ 替换为 $-x$，我们得到 $f(-x)=\\sin(-x)+\\frac{1}{\\sin(-x)}=-\\sin x-\\frac{1}{\\sin x}$，这与 $f(x)$ 不相等，所以函数的图像不是关于 $y$ 轴对称的。\n\n(2) 如果一个函数的图像关于原点对称，那么它必须满足 $f(-x)=-f(x)$。我们可以看到，对于函数 $f(x)=\\sin x+\\frac{1}{\\sin x}$，如果我们将 $x$ 替换为 $-x$，我们得到 $f(-x)=\\sin(-x)+\\frac{1}{\\sin(-x)}=-\\sin x-\\frac{1}{\\sin x}$，这与 $-f(x)$ 相等，所以函数的图像是关于原点对称的。\n\n(3) 如果一个函数的图像关于直线 $x=\\frac{\\pi}{2}$ 对称，那么它必须满足 $f(\\frac{\\pi}{2}-x)=f(\\frac{\\pi}{2}+x)$。我们可以看到，对于函数 $f(x)=\\sin x+\\frac{1}{\\sin x}$，如果我们将 $x$ 替换为 $\\frac{\\pi}{2}-x$ 和 $\\frac{\\pi}{2}+x$，我们得到的两个函数值并不相等，所以函数的图像不是关于直线 $x=\\frac{\\pi}{2}$ 对称的。\n\n(4) 对于函数 $f(x)=\\sin x+\\frac{1}{\\sin x}$，我们可以看到，当 $x=\\frac{\\pi}{2}$ 时，$\\sin x=1$，所以 $f(x)=1+\\frac{1}{1}=2$，这是函数的最小值。\n\n所以，所有真命题的序号是 (2) 和 (4)。<eoe>\n【答案】(2)、(4)<eoa>",
            "model_correction": "【判分理由】学生的分析在命题(1)和命题(2)上是正确的，与标准答案一致。然而，在命题(3)的分析中，学生错误地认为函数的图像不是关于直线 $x=\\frac{\\pi}{2}$ 对称的，这与标准答案不符。在命题(4)的分析中，学生错误地认为函数的最小值为2，这同样与标准答案不符。因此，学生的答案只有命题(2)是正确的。\n\n【得分】由于学生正确分析了命题(2)，可以给予部分分数。命题(1)、(3)和(4)的分析错误，不予得分。根据题目的难度和分值，可以给予学生2分。\n\n【总分】2分",
            "model_correction_score": [
                2.0
            ]
        },
        {
            "index": 65,
            "year": "2020",
            "category": "（新课标Ⅰ）",
            "score": 5,
            "question": "14. 设 $a, b$ 为单位向量, 且 $|\\boldsymbol{a}+\\boldsymbol{b}|=1$, 则 $|a-b|=$\n",
            "standard_answer": "$\\sqrt{3}$\n",
            "analysis": "【详解】因为 $\\vec{a}, \\vec{b}$ 为单位向量, 所以 $|\\vec{a}|=|b|=1$\n\n所以 $|\\vec{a}+\\vec{b}|=\\sqrt{(\\vec{a}+\\vec{b})^{2}}=\\sqrt{|\\vec{a}|^{2}+2 \\vec{a} \\cdot \\vec{b}+|\\vec{b}|^{2}}=\\sqrt{2+2 \\vec{a} \\cdot \\vec{b}}=1$\n\n解得: $2 \\vec{a} \\cdot \\vec{b}=-1$\n\n所以 $|\\vec{a}-\\vec{b}|=\\sqrt{(\\vec{a}-\\vec{b})^{2}}=\\sqrt{|\\vec{a}|^{2}-2 \\vec{a} \\cdot \\vec{b}+|\\vec{b}|^{2}}=\\sqrt{3}$\n\n故答案为: $\\sqrt{3}$\n",
            "model_output": "【解析】由题目给出的条件，我们知道向量a和向量b都是单位向量，所以它们的模都为1，即|a|=|b|=1。又因为|a+b|=1，我们可以利用向量的模的性质，得到|a+b|^2=|a|^2+2a·b+|b|^2=1。将|a|=|b|=1代入，得到1+2a·b+1=1，解得a·b=-1/2。再根据|a-b|^2=|a|^2-2a·b+|b|^2的公式，代入|a|=|b|=1和a·b=-1/2，得到|a-b|^2=1-2*(-1/2)+1=3，所以|a-b|=根号3。<eoe>\n【答案】根号3<eoa>",
            "model_correction": "【判分理由】学生的分析过程正确，得出了正确的结果，即 $|a-b|=\\sqrt{3}$。学生的答案与标准答案一致，因此应给满分。\n\n【得分】5分\n\n【总分】5分",
            "model_correction_score": [
                5.0
            ]
        },
        {
            "index": 66,
            "year": "2020",
            "category": "（新课标Ⅰ）",
            "score": 5,
            "question": "15. 已知 $F$ 为双曲线 $C: \\frac{x^{2}}{a^{2}}-\\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$\n\n的右焦点, $A$ 为 $C$ 的右顶点, $B$ 为 $C$ 上的点, 且 $B F$ 垂直于 $x$ 轴. 若 $A B$ 的斜率为 3 , 则 $C$ 的离心率为\n",
            "standard_answer": "2\n",
            "analysis": "【详解】依题可得, $\\frac{|B F|}{|A F|}=3$, 而 $|B F|=\\frac{b^{2}}{a},|A F|=c-a$, 即 $\\frac{\\frac{b^{2}}{a}}{c-a}=3$, 变形得 $c^{2}-a^{2}=3 a c-3 a^{2}$ , 化简可得, $e^{2}-3 e+2=0$, 解得 $e=2$ 或 $e=1$ (舍去).\n\n故答案为: 2 .\n",
            "model_output": "【解析】\n双曲线的右顶点A的坐标为(a,0)，右焦点F的坐标为(c,0)，其中c是双曲线的半焦距，满足$c^2=a^2+b^2$。由于BF垂直于x轴，所以B的坐标可以设为(c,y)。又因为B在双曲线上，所以它满足双曲线的方程，即$\\frac{c^2}{a^2}-\\frac{y^2}{b^2}=1$。又因为AB的斜率为3，所以$\\frac{y-0}{c-a}=3$，解这个方程可以得到y=3a-3c。将y代入双曲线的方程，可以解出a和c的关系，进而求出离心率e=c/a。<eoe>\n【答案】$\\sqrt{10}$<eoa>",
            "model_correction": "【判分理由】学生的分析过程中，正确地识别了双曲线的顶点A和焦点F的坐标，以及点B的坐标形式。学生也正确地使用了AB的斜率信息来建立方程。然而，在将y代入双曲线方程的过程中，学生没有正确地解出a和c的关系，导致最终答案错误。学生的答案与标准答案不符，因此不能给分。\n\n【得分】0分\n\n【总分】0分",
            "model_correction_score": [
                0.0
            ]
        },
        {
            "index": 67,
            "year": "2020",
            "category": "（新课标Ⅱ）",
            "score": 5,
            "question": "13. 已知单位向量 $a, b$ 的夹角为 $45^{\\circ}, k a-b$ 与 $a$ 垂直, 则 $k=$\n",
            "standard_answer": "$\\frac{\\sqrt{2}}{2}$\n",
            "analysis": "【详解】由题意可得: $\\vec{a} \\cdot \\vec{b}=1 \\times 1 \\times \\cos 45^{\\circ}=\\frac{\\sqrt{2}}{2}$,\n\n由向量垂直的充分必要条件可得: $(k \\vec{a}-\\vec{b}) \\cdot \\vec{a}=0$,\n\n即: $k \\times \\vec{a}^{2}-\\vec{a} \\cdot \\vec{b}=k-\\frac{\\sqrt{2}}{2}=0$, 解得: $k=\\frac{\\sqrt{2}}{2}$.\n\n故答案为: $\\frac{\\sqrt{2}}{2}$.\n",
            "model_output": "【解析】\n首先，我们知道单位向量的模为1，即$|a|=|b|=1$。\n由题意，向量$ka-b$与$a$垂直，所以$(ka-b)\\cdot a=0$，即$k(a\\cdot a)-b\\cdot a=0$。\n又因为$a\\cdot a=|a|^2=1$，$b\\cdot a=|b|\\cdot|a|\\cdot\\cos45^{\\circ}=1\\cdot1\\cdot\\frac{\\sqrt{2}}{2}=\\frac{\\sqrt{2}}{2}$。\n所以，我们得到$k-\\frac{\\sqrt{2}}{2}=0$，解这个方程我们可以得到$k$的值。<eoe>\n【答案】$\\frac{\\sqrt{2}}{2}$<eoa>",
            "model_correction": "【判分理由】学生的分析过程正确，计算过程无误，并且得出了正确的答案。学生的答案与标准答案一致。\n\n【得分】5分\n\n【总分】5分",
            "model_correction_score": [
                5.0
            ]
        },
        {
            "index": 68,
            "year": "2020",
            "category": "（新课标Ⅱ）",
            "score": 5,
            "question": "14.4 名同学到 3 个小区参加垃圾分类宣传活动, 每名同学只去 1 个小区, 每个小区至少安排 1 名同学, 则不同 的安排方法共有 种.\n",
            "standard_answer": "36}\n",
            "analysis": "【详解】 $\\because 4$ 名同学到 3 个小区参加垃圾分类宣传活动, 每名同学只去 1 个小区, 每个小区至少安排 1 名同学\n\n$\\therefore$ 先取2名同学看作一组, 选法有: $C_{4}^{2}=6$\n\n现在可看成是 3 组同学分配到 3 个小区, 分法有: $A_{3}^{3}=6$\n\n根据分步乘法原理, 可得不同的安排方法 $6 \\times 6=36$ 种\n\n故答案为: 36 .\n",
            "model_output": "【解析】\n这是一个经典的数学问题，也叫做“鸽巢原理”。我们可以将这个问题看作是将14个不同的元素（14名同学）放入3个不同的集合（3个小区）的问题。每个集合至少有一个元素，也就是每个小区至少有一名同学。\n\n首先，我们先将每个小区分配一个同学，这样就保证了每个小区至少有一名同学。这样，我们就剩下14-3=11名同学需要分配。这个问题就转化为了将11个元素放入3个集合的问题，而且这次每个集合可以为空。\n\n这个问题的解法是使用组合数学中的“插板法”。我们可以将这11个元素看作是11个球，而3个集合就是我们需要将这11个球分割成3份。我们可以在这11个球之间的空隙中插入2个板子来进行分割。因此，这个问题就转化为了在11个球的10个空隙中选择2个位置插入板子的问题。\n\n这个问题的答案就是C(10, 2)，也就是从10个位置中选择2个位置的组合数。这个数可以通过组合数的公式C(n, m) = n! / [m!(n-m)!]来计算，其中n!表示n的阶乘，也就是1*2*3*...*n。\n\n所以，答案就是C(10, 2) = 10! / [2!(10-2)!] = 45.<eoe>\n【答案】45<eoa>",
            "model_correction": "【判分理由】学生的分析过程和答案与标准答案不符。学生错误地将题目中的“4名同学”理解为“14名同学”，并且使用了错误的方法来解决问题。学生使用了插板法来解决问题，但这种方法适用于不限制每个小区至少有一名同学的情况。在本题中，每个小区至少有一名同学，因此不能直接使用插板法。学生的答案45与标准答案36不一致，因此学生的答案是错误的。\n\n【得分】0分\n\n【总分】0分",
            "model_correction_score": [
                0.0
            ]
        },
        {
            "index": 69,
            "year": "2020",
            "category": "（新课标Ⅱ）",
            "score": 5,
            "question": "15. 设复数 $z_{1}, z_{2}$ 满足 $\\left|z_{1}\\right|=\\left|z_{2}\\right|=2, z_{1}+z_{2}=\\sqrt{3}+\\mathrm{i}$, 则 $\\left|z_{1}-z_{2}\\right|=$\n",
            "standard_answer": "$2 \\sqrt{3}$\n",
            "analysis": "【详解】 $\\because\\left|z_{1}\\right|=\\left|z_{2}\\right|=2$, 可设 $z_{1}=2 \\cos \\theta+2 \\sin \\theta \\cdot i, z_{2}=2 \\cos \\alpha+2 \\sin \\alpha \\cdot i$,\n\n$\\therefore z_{1}+z_{2}=2(\\cos \\theta+\\cos \\alpha)+2(\\sin \\theta+\\sin \\alpha) \\cdot i=\\sqrt{3}+i$,\n\n$\\therefore\\left\\{\\begin{array}{l}2(\\cos \\theta+\\cos \\alpha)=\\sqrt{3} \\\\ 2(\\sin \\theta+\\sin \\alpha)=1\\end{array}\\right.$, 两式平方作和得: $4(2+2 \\cos \\theta \\cos \\alpha+2 \\sin \\theta \\sin \\alpha)=4$,\n\n化简得: $\\cos \\theta \\cos \\alpha+\\sin \\theta \\sin \\alpha=-\\frac{1}{2}$\n\n$$\n\\begin{aligned}\n& \\therefore\\left|z_{1}-z_{2}\\right|=|2(\\cos \\theta-\\cos \\alpha)+2(\\sin \\theta-\\sin \\alpha) \\cdot i| \\\\\n& =\\sqrt{4(\\cos \\theta-\\cos \\alpha)^{2}+4(\\sin \\theta-\\sin \\alpha)^{2}}=\\sqrt{8-8(\\cos \\theta \\cos \\alpha+\\sin \\theta \\sin \\alpha)}=\\sqrt{8+4}=2 \\sqrt{3} .\n\\end{aligned}\n$$\n\n故答案为: $2 \\sqrt{3}$.\n",
            "model_output": "【解析】\n根据复数的模的性质，我们有\n$\\left|z_{1}-z_{2}\\right|^{2}=\\left|z_{1}\\right|^{2}+\\left|z_{2}\\right|^{2}-2\\left|z_{1}\\right|\\left|z_{2}\\right|\\cos \\theta$\n其中 $\\theta$ 是 $z_{1}$ 和 $z_{2}$ 的辐角之差。由题意，我们知道 $\\left|z_{1}\\right|=\\left|z_{2}\\right|=2$，所以\n$\\left|z_{1}-z_{2}\\right|^{2}=2^{2}+2^{2}-2*2*2\\cos \\theta=8-8\\cos \\theta$\n又根据复数的加法，我们有\n$z_{1}+z_{2}=\\sqrt{3}+\\mathrm{i}$\n所以\n$\\left|z_{1}+z_{2}\\right|^{2}=\\left(\\sqrt{3}\\right)^{2}+1^{2}=4$\n根据复数的模的性质，我们有\n$\\left|z_{1}+z_{2}\\right|^{2}=\\left|z_{1}\\right|^{2}+\\left|z_{2}\\right|^{2}+2\\left|z_{1}\\right|\\left|z_{2}\\right|\\cos \\theta$\n所以\n$4=8+8\\cos \\theta$\n解得 $\\cos \\theta=-\\frac{1}{2}$\n代入 $\\left|z_{1}-z_{2}\\right|^{2}=8-8\\cos \\theta$ 得\n$\\left|z_{1}-z_{2}\\right|^{2}=8-8*(-\\frac{1}{2})=12$\n所以 $\\left|z_{1}-z_{2}\\right|=\\sqrt{12}=2\\sqrt{3}$\n<eoe>\n【答案】2\\sqrt{3}<eoa>",
            "model_correction": "【判分理由】学生的分析过程正确地使用了复数的模的性质和复数的加法，得出了正确的结果。学生的答案与标准答案一致。\n\n【得分】5分\n\n【总分】5分",
            "model_correction_score": [
                5.0
            ]
        },
        {
            "index": 70,
            "year": "2021",
            "category": "（全国甲卷）",
            "score": 5,
            "question": "13. 曲线 $y=\\frac{2 x-1}{x+2}$ 在点 $(-1,-3)$ 处的切线方程为\n",
            "standard_answer": "$5 x-y+2=0$\n",
            "analysis": "【详解】由题, 当 $x=-1$ 时, $y=-3$, 故点在曲线上.\n\n求导得: $y^{\\prime}=\\frac{2(x+2)-(2 x-1)}{(x+2)^{2}}=\\frac{5}{(x+2)^{2}}$, 所以 $\\left.y^{\\prime}\\right|_{x=-1}=5$.\n\n故切线方程为 $5 x-y+2=0$.\n\n故答案为: $5 x-y+2=0$.\n",
            "model_output": "【解析】首先，我们需要找到给定函数的导数。函数 $y=\\frac{2 x-1}{x+2}$ 的导数可以通过使用商的导数公式求得，即 $(u/v)'=(u'v-uv')/v^2$。这里，$u=2x-1$，$v=x+2$。所以，$u'=2$，$v'=1$。将这些值代入公式，我们得到 $y'=\\frac{2(x+2)-(2x-1)}{(x+2)^2}=\\frac{3}{(x+2)^2}$。\n然后，我们需要在点 $(-1,-3)$ 处求导数，即将 $x=-1$ 代入 $y'$，得到 $y'(-1)=3$。这就是切线的斜率。\n最后，我们使用点斜式方程 $y-y_1=m(x-x_1)$ 来找到切线的方程，其中 $(x_1, y_1)$ 是切线上的点，$m$ 是切线的斜率。将 $x_1=-1$，$y_1=-3$，$m=3$ 代入公式，我们得到 $y-(-3)=3(x-(-1))$，即 $y=3x+6$。<eoe>\n【答案】$y=3x+6$<eoa>",
            "model_correction": "【判分理由】学生在求导数的过程中犯了错误，将导数计算为 $\\frac{3}{(x+2)^2}$ 而不是正确的 $\\frac{5}{(x+2)^2}$。因此，学生得到的斜率为3，而不是正确的5。在使用点斜式方程求切线方程时，学生使用了错误的斜率，导致最终答案错误。由于学生的分析过程中存在计算错误，并且最终答案与标准答案不符，学生应得0分。\n\n【得分】0分\n\n【总分】0分",
            "model_correction_score": [
                0.0
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        },
        {
            "index": 71,
            "year": "2021",
            "category": "（全国甲卷）",
            "score": 5,
            "question": "14. 已知向量 $\\vec{a}=(3,1), \\vec{b}=(1,0), \\vec{c}=\\vec{a}+k \\vec{b}$. 若 $\\vec{a} \\perp \\vec{c}$, 则 $k=$\n",
            "standard_answer": "$-\\frac{10}{3}$.\n",
            "analysis": "【详解】 $\\because \\vec{a}=(3,1), \\vec{b}=(1,0), \\therefore \\vec{c}=\\vec{a}+k \\vec{b}=(3+k, 1)$ ，\n\n$\\because \\vec{a} \\perp \\vec{c}, \\therefore \\vec{a} \\diamond \\vec{c}=3(3+k)+1 \\times 1=0$, 解得 $k=-\\frac{10}{3}$,\n\n故答案为: $-\\frac{10}{3}$.\n",
            "model_output": "【解析】\n向量$\\vec{a}$与向量$\\vec{c}$垂直，根据向量的垂直性质，有$\\vec{a} \\cdot \\vec{c}=0$。将$\\vec{c}=\\vec{a}+k \\vec{b}$代入，得到$(3,1) \\cdot ((3,1)+k(1,0))=0$，即$3*3+1*1+3k*1+1k*0=0$，化简得到$10+3k=0$。解这个方程可以得到$k$的值。<eoe>\n【答案】$k=-\\frac{10}{3}$<eoa>",
            "model_correction": "【判分理由】学生的分析过程正确，得出了正确的方程 $10+3k=0$ 并解得正确答案 $k=-\\frac{10}{3}$。学生的答案与标准答案一致。\n\n【得分】5分\n\n【总分】5分",
            "model_correction_score": [
                5.0
            ]
        },
        {
            "index": 72,
            "year": "2021",
            "category": "（全国甲卷）",
            "score": 5,
            "question": "15. 已知 $F_{1}, F_{2}$ 为椭圆 $C: \\frac{x^{2}}{16}+\\frac{y^{2}}{4}=1$ 的两个焦点, $P, Q$ 为 $C$ 上关于坐标原点对称的两点, 且 $|P Q|=\\left|F_{1} F_{2}\\right|$, 则四边形 $P F_{1} Q F_{2}$ 的面积为\n",
            "standard_answer": "8\n",
            "analysis": "【详解】因为 $P, Q$ 为 $C$ 上关于坐标原点对称的两点,\n\n且 $|P Q|=\\left|F_{1} F_{2}\\right|$, 所以四边形 $P F_{1} Q F_{2}$ 为矩形,\n\n设 $\\left|P F_{1}\\right|=m,\\left|P F_{2}\\right|=n$, 则 $m+n=8, m^{2}+n^{2}=48$,\n\n所以 $64=(m+n)^{2}=m^{2}+2 m n+n^{2}=48+2 m n$,\n\n$m n=8$ ， 即四边形 $P F_{1} Q F_{2}$ 面积等于 8 .\n\n故答案为: 8 .\n",
            "model_output": "【解析】\n首先，我们知道椭圆的一般方程为$\\frac{x^{2}}{a^{2}}+\\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$，其中a和b分别为椭圆的长半轴和短半轴。由题目给出的椭圆方程$\\frac{x^{2}}{16}+\\frac{y^{2}}{4}=1$，我们可以得出长半轴a=4，短半轴b=2。\n\n其次，我们知道椭圆的焦点到椭圆上任意一点的距离之和等于椭圆的长轴，即$2a$。由于$P,Q$是关于原点对称的两点，所以$F_1P=F_2Q$，$F_2P=F_1Q$。因此，$|F_1F_2|=|PQ|=2a=8$。\n\n接下来，我们需要求出四边形$PF_1QF_2$的面积。由于$PF_1QF_2$是一个平行四边形，我们可以使用平行四边形面积的公式$S=ab\\sin\\theta$，其中a和b是平行四边形的两条邻边，$\\theta$是这两条边之间的夹角。由于$PF_1QF_2$是一个矩形，所以$\\theta=90^\\circ$，$\\sin\\theta=1$。因此，四边形$PF_1QF_2$的面积为$S=ab=8*8=64$。\n<eoe>\n【答案】64<eoa>",
            "model_correction": "【判分理由】学生的分析过程中，正确地识别了椭圆的长半轴和短半轴的长度，但在计算四边形$PF_1QF_2$的面积时犯了错误。学生错误地认为$PF_1QF_2$是平行四边形，并且错误地使用了平行四边形的面积公式来计算矩形的面积。实际上，根据题目条件，$PF_1QF_2$是一个矩形，其面积应该是长边乘以宽边，即$|F_1F_2|$乘以$|PF_1|$。学生没有正确地使用这一条件，而是错误地计算了$8*8=64$，这与标准答案8相差甚远。因此，学生的答案是错误的。\n\n【得分】0分\n\n【总分】0分",
            "model_correction_score": [
                0.0
            ]
        },
        {
            "index": 73,
            "year": "2021",
            "category": "（新课标ⅰ）",
            "score": 5,
            "question": "13. 已知双曲线 $C: \\frac{x^{2}}{m}-y^{2}=1(m>0)$ 的一条渐近线为 $\\sqrt{3} x+m y=0$, 则 $C$ 的焦距\n\n为\n",
            "standard_answer": "4\n",
            "analysis": "解析:\n\n易知双曲线渐近线方程为 $y= \\pm \\frac{b}{a} x$, 由题意得 $a^{2}=m, b^{2}=1$, 且一条渐近线方程为 $y=-\\frac{\\sqrt{3}}{m} x$, 则有 $m=0$ (舍去), $m=3$, 故焦距为 $2 c=4$.\n",
            "model_output": "【解析】\n双曲线的一条渐近线为 $\\sqrt{3} x+m y=0$，那么其斜率为 $-\\sqrt{3}/m$。双曲线的渐近线的斜率为 $\\pm\\sqrt{m}$，所以我们可以得到 $-\\sqrt{3}/m = \\pm\\sqrt{m}$。解这个方程，我们可以得到 $m$ 的值。然后，双曲线的焦距为 $2\\sqrt{m}$，所以我们可以计算出双曲线的焦距。<eoe>\n【答案】\n首先，我们解方程 $-\\sqrt{3}/m = \\pm\\sqrt{m}$，得到 $m=3$。然后，我们计算双曲线的焦距，得到 $2\\sqrt{m}=2\\sqrt{3}$。<eoa>",
            "model_correction": "【判分理由】学生在分析过程中正确地识别了双曲线渐近线的斜率，并且正确地建立了方程 $-\\sqrt{3}/m = \\pm\\sqrt{m}$。然而，在解方程时，学生犯了错误，没有考虑到方程有两个解，即 $m=3$ 和 $m=-1/3$（后者不符合题目条件 $m>0$，应该被舍去）。学生只取了 $m=3$ 这个正确的解。在计算焦距时，学生错误地使用了 $2\\sqrt{m}$ 而不是正确的 $2c=2\\sqrt{a^2+b^2}=2\\sqrt{m+1}$。因此，学生的最终答案是错误的。\n\n【得分】由于学生正确地解出了 $m=3$，但在计算焦距时犯了错误，可以给予部分分数。考虑到解方程是解题的关键步骤，可以给予3分。计算焦距是最后一步，由于计算错误，扣除2分。\n\n【总分】3分",
            "model_correction_score": [
                3.0
            ]
        },
        {
            "index": 74,
            "year": "2021",
            "category": "（新课标ⅰ）",
            "score": 5,
            "question": "14.已知向量 $\\vec{a}=(1,3), \\vec{b}=(3,4)$, 若 $(\\vec{a}-\\lambda \\vec{b}) \\perp \\vec{b}$, 则 $\\lambda=$\n",
            "standard_answer": "$\\frac{3}{5}$\n",
            "analysis": "解析:\n\n由题意得 $(\\vec{a}-\\lambda \\vec{b}) \\cdot \\vec{b}=0$ ， 即 $15-25 \\lambda=0$ ， 解得 $\\lambda=\\frac{3}{5}$.\n",
            "model_output": "【解析】\n向量$\\vec{a}-\\lambda \\vec{b}$与向量$\\vec{b}$垂直，根据向量的垂直性质，我们知道两向量的点积为0。所以有$(\\vec{a}-\\lambda \\vec{b}) \\cdot \\vec{b}=0$。\n将向量$\\vec{a}$、$\\vec{b}$的坐标值代入，得到$(1,3)-\\lambda(3,4) \\cdot (3,4)=0$，即$(1-3\\lambda,3-4\\lambda) \\cdot (3,4)=0$。\n根据点积的计算公式，得到$(1-3\\lambda)*3+(3-4\\lambda)*4=0$。\n解这个方程，可以得到$\\lambda$的值。<eoe>\n【答案】$\\lambda=1$<eoa>",
            "model_correction": "【判分理由】学生在分析过程中正确地使用了向量垂直的性质，即点积为0的条件。然而，在计算点积时，学生犯了错误，没有正确地计算出点积的值。学生得出的方程是错误的，因此解出的$\\lambda$值也是错误的。由于学生的解题过程中有正确的部分，可以给予部分分数。\n\n【得分】2分\n\n【总分】2分",
            "model_correction_score": [
                2.0
            ]
        },
        {
            "index": 75,
            "year": "2021",
            "category": "（新课标ⅰ）",
            "score": 5,
            "question": "15. 记 $\\triangle A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$, 面积为 $\\sqrt{3}, B=60^{\\circ}$, $a^{2}+c^{2}=3 a c$, 则 $b=$\n",
            "standard_answer": "$2 \\sqrt{2}$\n",
            "analysis": "解析:\n\n$S_{\\triangle A B C}=\\frac{1}{2} a c \\sin B=\\frac{\\sqrt{3}}{4} a c=\\sqrt{3}$, 所以 $a c=4$\n\n由余弦定理, $b^{2}=a^{2}+c^{2}-a c=3 a c-a c=2 a c=8$, 所以 $b=2 \\sqrt{2}$.\n",
            "model_output": "【解析】\n由于角B=60度，所以我们可以使用正弦定理，即a/sinA=b/sinB=c/sinC。由于sin60=√3/2，所以b=2a/√3。\n另外，由于a²+c²=3ac，我们可以将其改写为(a-c)²=0，这意味着a=c。\n因此，b=2a/√3=2c/√3。\n又因为三角形的面积公式为S=1/2*ab*sinC，所以我们可以将已知的值代入公式，得到√3=1/2*ac*sin60，解得ac=2√3。\n由于a=c，所以a²=2√3，解得a=c=√2√3。\n所以，b=2*√2√3/√3=2√2。<eoe>\n【答案】2√2<eoa>",
            "model_correction": "【判分理由】\n学生的分析过程中，首先使用了正弦定理，但是这一步是不必要的，因为题目中并没有提供足够的信息来使用正弦定理。接着，学生错误地将$a^2+c^2=3ac$改写为$(a-c)^2=0$，这是错误的，因为正确的改写应该是$a^2+c^2-3ac=0$，即$(a-c)(a-3c)=0$。然而，学生在后续的计算中又正确地得出了$a=c$，这是一个幸运的巧合，但是过程是错误的。学生在计算三角形面积时使用了正确的公式，并且正确地解出了$a=c=\\sqrt{2\\sqrt{3}}$。最终，学生得出了正确的答案$b=2\\sqrt{2}$。\n\n由于学生的最终答案是正确的，但是解题过程中存在明显的错误，可以给予部分分数。根据高考数学试卷的评分标准，正确的答案通常占总分的大部分，但是解题过程也很重要。在这种情况下，可以考虑给予学生一半的分数，因为他们得出了正确的答案，但是解题过程有误。\n\n【得分】2.5分\n\n【总分】2.5分",
            "model_correction_score": [
                2.5
            ]
        },
        {
            "index": 76,
            "year": "2022",
            "category": "（全国乙卷）",
            "score": 5,
            "question": "13. 从甲、乙等 5 名同学中随机选 3 名参加社区服务工作, 则甲、乙都人选的概率为\n",
            "standard_answer": "$\\frac{3}{10} \\# \\# 0.3$\n",
            "analysis": "【详解】从 5 名同学中随机选 3 名的方法数为 $\\mathrm{C}_{5}^{3}=10$\n\n甲、乙都人选的方法数为 $\\mathrm{C}_{3}^{1}=3$ ，所以甲、乙都人选的概率 $P=\\frac{3}{10}$ 故答案为: $\\frac{3}{10}$\n",
            "model_output": "【解析】\n这是一个组合概率的问题。首先，我们需要找出所有可能的选取方式，然后找出其中包含甲、乙的选取方式。\n\n从5名同学中随机选3名，总的选取方式是C(5,3)=10种。\n\n然后，如果甲、乙都被选中，那么剩下的一名同学可以从剩下的3名同学中选取，所以这样的选取方式有C(3,1)=3种。\n\n所以，甲、乙都被选中的概率是3/10。<eoe>\n\n【答案】3/10<eoa>",
            "model_correction": "【判分理由】学生的分析过程正确，得出了正确的总选取方式数和包含甲、乙的选取方式数，并正确计算出了甲、乙都被选中的概率为3/10。学生的答案与标准答案一致，因此应给满分。\n\n【得分】5分\n\n【总分】5分",
            "model_correction_score": [
                5.0
            ]
        },
        {
            "index": 77,
            "year": "2022",
            "category": "（全国乙卷）",
            "score": 5,
            "question": "15. 记函数 $f(x)=\\cos (\\omega x+\\varphi)(\\omega>0,0<\\varphi<\\pi)$ 的最小正周期为 $T$, 若 $f(T)=\\frac{\\sqrt{3}}{2}$, $x=\\frac{\\pi}{9}$ 为 $f(x)$ 的零点, 则 $\\omega$ 的最小值为\n",
            "standard_answer": "3\n",
            "analysis": "【详解】解：因为 $f(x)=\\cos (\\omega x+\\varphi),(\\omega>0,0<\\varphi<\\pi)$\n\n所以最小正周期 $T=\\frac{2 \\pi}{\\omega}$, 因为 $f(T)=\\cos \\left(\\omega \\cdot \\frac{2 \\pi}{\\omega}+\\varphi\\right)=\\cos (2 \\pi+\\varphi)=\\cos \\varphi=\\frac{\\sqrt{3}}{2}$,\n\n又 $0<\\varphi<\\pi$, 所以 $\\varphi=\\frac{\\pi}{6}$, 即 $f(x)=\\cos \\left(\\omega x+\\frac{\\pi}{6}\\right)$,\n\n又 $x=\\frac{\\pi}{9}$ 为 $f(x)$ 的零点, 所以 $\\frac{\\pi}{9} \\omega+\\frac{\\pi}{6}=\\frac{\\pi}{2}+k \\pi, k \\in Z$, 解得 $\\omega=3+9 k, k \\in Z$,\n\n因为 $\\omega>0$, 所以当 $k=0$ 时 $\\omega_{\\text {min }}=3$;\n\n故答案为: 3\n",
            "model_output": "【解析】\n首先，我们知道函数 $f(x)=\\cos (\\omega x+\\varphi)$ 的周期为 $\\frac{2\\pi}{\\omega}$，所以 $T=\\frac{2\\pi}{\\omega}$。由于 $f(T)=\\cos (\\omega T+\\varphi)=\\cos (2\\pi+\\varphi)=\\cos \\varphi=\\frac{\\sqrt{3}}{2}$，我们可以得到 $\\varphi=\\frac{\\pi}{6}$ 或 $\\varphi=\\frac{5\\pi}{6}$。但是题目给出 $0<\\varphi<\\pi$，所以 $\\varphi=\\frac{\\pi}{6}$。\n\n然后，我们知道 $x=\\frac{\\pi}{9}$ 是 $f(x)$ 的零点，所以 $\\cos (\\omega \\frac{\\pi}{9}+\\frac{\\pi}{6})=0$。这意味着 $\\omega \\frac{\\pi}{9}+\\frac{\\pi}{6}=\\frac{\\pi}{2}+k\\pi$，其中 $k$ 是整数。\n\n解这个方程，我们得到 $\\omega=\\frac{4-k\\cdot 18}{3}$。由于 $\\omega>0$，我们可以得到 $k<\\frac{4}{3}$。因为 $k$ 是整数，所以 $k=0$ 或 $k=1$。当 $k=0$ 时，$\\omega=\\frac{4}{3}$，当 $k=1$ 时，$\\omega=-\\frac{14}{3}$，但这个解不符合题目要求的 $\\omega>0$。所以 $\\omega$ 的最小值为 $\\frac{4}{3}$。<eoe>\n【答案】$\\frac{4}{3}$<eoa>",
            "model_correction": "【判分理由】学生的分析过程中，计算了周期 $T=\\frac{2\\pi}{\\omega}$ 并正确得出 $\\varphi=\\frac{\\pi}{6}$，这部分分析是正确的。但在解方程 $\\omega \\frac{\\pi}{9}+\\frac{\\pi}{6}=\\frac{\\pi}{2}+k\\pi$ 时，学生犯了错误，得出了错误的 $\\omega$ 值。正确的解应该是 $\\omega=3+9k$，其中 $k$ 是整数。学生的答案 $\\frac{4}{3}$ 不是正确的 $\\omega$ 的最小值，正确答案应该是 $\\omega_{\\text{min}}=3$。因此，学生的答案是错误的。\n\n【得分】0分\n\n【总分】0分",
            "model_correction_score": [
                0.0
            ]
        },
        {
            "index": 78,
            "year": "2022",
            "category": "（全国甲卷）",
            "score": 5,
            "question": "13. 设向量 $\\vec{a}, \\vec{b}$ 的夹角的余弦值为 $\\frac{1}{3}$, 且 $|\\vec{a}|=1,|b|=3$, 则 $(2 \\vec{a}+\\vec{b}) \\cdot \\vec{b}=$\n",
            "standard_answer": "11\n",
            "analysis": "【详解】解: 设 $\\vec{a}$ 与 $\\vec{b}$ 的夹角为 $\\theta$, 因为 $\\vec{a}$ 与 $\\vec{b}$ 的夹角的余弦值为 $\\frac{1}{3}$, 即 $\\cos \\theta=\\frac{1}{3}$,\n\n又 $|\\vec{a}|=1,|b|=3$, 所以 $\\vec{a} \\cdot \\vec{b}=|\\vec{a}| \\cdot|\\vec{b}| \\cos \\theta=1 \\times 3 \\times \\frac{1}{3}=1$,\n\n所以 $(2 \\vec{a}+\\vec{b}) \\cdot \\vec{b}=2 \\vec{a} \\cdot \\vec{b}+\\vec{b}^{2}=2 \\vec{a} \\cdot \\vec{b}+|\\vec{b}|^{2}=2 \\times 1+3^{2}=11$.\n\n故答案为: 11 .\n",
            "model_output": "【解析】\n根据向量的运算法则，我们有\n$(2 \\vec{a}+\\vec{b}) \\cdot \\vec{b} = 2 \\vec{a} \\cdot \\vec{b} + \\vec{b} \\cdot \\vec{b}$\n\n又因为向量的点积满足 $\\vec{a} \\cdot \\vec{b} = |\\vec{a}| |\\vec{b}| \\cos{\\theta}$，其中 $\\theta$ 是向量 $\\vec{a}$ 和 $\\vec{b}$ 的夹角，所以\n$\\vec{a} \\cdot \\vec{b} = |\\vec{a}| |\\vec{b}| \\cos{\\theta} = 1 \\times 3 \\times \\frac{1}{3} = 1$\n\n同样，$\\vec{b} \\cdot \\vec{b} = |\\vec{b}|^2 = 3^2 = 9$\n\n所以，$(2 \\vec{a}+\\vec{b}) \\cdot \\vec{b} = 2 \\times 1 + 9 = 11$<eoe>\n【答案】11<eoa>",
            "model_correction": "【判分理由】学生的分析过程正确，计算过程无误，并且得出了正确的答案。\n\n【得分】5分\n\n【总分】5分",
            "model_correction_score": [
                5.0
            ]
        },
        {
            "index": 79,
            "year": "2022",
            "category": "（全国甲卷）",
            "score": 5,
            "question": "14. 若双曲线 $y^{2}-\\frac{x^{2}}{m^{2}}=1(m>0)$ 的渐近线与圆 $x^{2}+y^{2}-4 y+3=0$ 相切, 则\n\n$m=$\n",
            "standard_answer": "$\\frac{\\sqrt{3}}{3}$\n",
            "analysis": "【详解】解: 双曲线 $y^{2}-\\frac{x^{2}}{m^{2}}=1(m>0)$ 的渐近线为 $y= \\pm \\frac{x}{m}$, 即 $x \\pm m y=0$,\n\n不妨取 $x+m y=0$, 圆 $x^{2}+y^{2}-4 y+3=0$, 即 $x^{2}+(y-2)^{2}=1$, 所以圆心为 $(0,2)$, 半 径 $r=1$, 依题意圆心 $(0,2)$ 到渐近线 $x+m y=0$ 的距离 $d=\\frac{|2 m|}{\\sqrt{1+m^{2}}}=1$,\n\n解得 $m=\\frac{\\sqrt{3}}{3}$ 或 $m=-\\frac{\\sqrt{3}}{3}$ (舍去).\n\n故答案为: $\\frac{\\sqrt{3}}{3}$.\n",
            "model_output": "【解析】\n首先，我们需要找出双曲线的渐近线的方程。双曲线的标准形式为 $y^{2}-\\frac{x^{2}}{m^{2}}=1$，其渐近线的方程为 $y=\\pm\\frac{x}{m}$。\n然后，我们需要找出圆的方程。圆的标准形式为 $(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}$，所以我们需要将给出的方程 $x^{2}+y^{2}-4y+3=0$ 转化为标准形式。我们可以通过完成平方的方式来实现这一点。我们得到 $(x-0)^{2}+(y-2)^{2}=1$，所以圆的中心在 $(0,2)$，半径为 $1$。\n因为渐近线与圆相切，所以渐近线到圆心的距离等于圆的半径。我们可以使用点到直线距离的公式 $d=\\frac{|Ax_{0}+By_{0}+C|}{\\sqrt{A^{2}+B^{2}}}$ 来计算这个距离。对于渐近线 $y=\\frac{x}{m}$，我们有 $A=1$，$B=-\\frac{1}{m}$，$C=0$，对于圆心 $(0,2)$，我们有 $x_{0}=0$，$y_{0}=2$。将这些值代入公式，我们得到 $d=\\frac{|2/m|}{\\sqrt{1+(1/m)^{2}}}$。\n因为渐近线到圆心的距离等于圆的半径，所以我们有 $\\frac{|2/m|}{\\sqrt{1+(1/m)^{2}}}=1$。解这个方程，我们得到 $m=\\pm\\sqrt{3}$。但是题目给出 $m>0$，所以我们只取正解。\n<eoe>\n【答案】$\\sqrt{3}$<eoa>",
            "model_correction": "【判分理由】学生在分析过程中正确地找出了双曲线的渐近线方程和圆的标准方程。在计算点到直线的距离时，学生正确地使用了点到直线距离的公式。然而，在解最后的方程时，学生犯了一个错误，得出了错误的 $m$ 值。正确的 $m$ 值应该是 $\\frac{\\sqrt{3}}{3}$，而不是 $\\sqrt{3}$。因此，学生的最终答案是错误的。\n\n【得分】由于学生的分析过程基本正确，但最终答案错误，可以给予部分分数。考虑到学生正确地完成了大部分分析过程，但在解方程的最后一步出错，可以给予3分。\n\n【总分】3分",
            "model_correction_score": [
                3.0
            ]
        },
        {
            "index": 80,
            "year": "2022",
            "category": "（全国甲卷）",
            "score": 5,
            "question": "15. 从正方体的 8 个顶点中任选 4 个, 则这 4 个点在同一个平面的概率为\n",
            "standard_answer": "$\\frac{6}{35}$.\n",
            "analysis": "【详解】从正方体的 8 个顶点中任取 4 个, 有 $n=\\mathrm{C}_{8}^{4}=70$ 个结果, 这 4 个点在同一个平面 的有 $m=6+6=12$ 个, 故所求概率 $P=\\frac{m}{n}=\\frac{12}{70}=\\frac{6}{35}$.\n\n故答案为: $\\frac{6}{35}$.\n",
            "model_output": "【解析】\n正方体有8个顶点，所以从8个顶点中任选4个的总情况数为C(8,4)=70。\n在同一个平面上的4个点的情况有以下几种：\n1. 4个点在同一个面上，每个面有C(4,4)=1种情况，正方体有6个面，所以总的情况数为6*1=6。\n2. 4个点在两个相对的面上，每两个面有C(4,2)*C(4,2)=6*6=36种情况，正方体有3对相对的面，所以总的情况数为3*36=108。\n所以，4个点在同一个平面的总情况数为6+108=114。\n所以，这4个点在同一个平面的概率为114/70=57/35=1.62857142857。<eoe>\n【答案】1.62857142857<eoa>",
            "model_correction": "【判分理由】学生在分析时，正确计算了从8个顶点中任选4个的总情况数为C(8,4)=70。但在计算同一个平面上的4个点的情况时，学生错误地将两个相对面上的点也算作在同一个平面上，这是不正确的。实际上，只有当4个点在同一个面上时，它们才处于同一个平面上。因此，学生的答案1.62857142857与标准答案$\\frac{6}{35}$不符。由于学生的答案完全错误，应给0分。\n\n【得分】0分\n【总分】0分",
            "model_correction_score": [
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            ]
        }
    ]
}